Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=n^-1 / n

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
an = n^-1/n
converge e, em caso afirmativo, encontrar o seu limite. O conteúdo principal é cálculo de limite de sequência envolvendo potência e exponencial, usando propriedades de logaritmo e da função exponencial.

Passo 2

Para facilitar o limite, escrevemos an em termos da função exponencial e do logaritmo. Como
an = n^-1/n,
temos
ln(an) = lnl(n^-1/nr) = -1n,ln(n)
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an = expl(ln(an)r) = exp!l(-ln(n)nr)

Passo 3

Agora calculamos o limite do expoente. Observamos que
limntoinftyln(n)n
é um caso de forma infty/infty, então aplicamos o teorema de l’Hôpital:
limntoinftyln(n)n =limntoinftyddnln(n)ddnn =limntoinfty1/n1 =0
Portanto
limntoinftyl(-tfracln(n)nr)=0

Passo 4

Como a função exp(x) é contínua, podemos passar o limite para dentro da exponencial:
limntoinftyan =limntoinftyexp!l(-tfracln(n)nr) =exp!l(limntoinfty-tfracln(n)nr) =exp(0) =1

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyn^-1/n=1

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