Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
an=(raizn+1-raizn) raizn+12

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência an=(raizn+1-raizn)raizn+tfrac12 e, se ela convergir, calcular o limite. O conteúdo principal é limites de sequência, usando racionalização de diferença de raízes e propriedades de limites.

Passo 2

Vamos racionalizar a diferença de raízes para simplificar raizn+1-raizn. Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado, temos
raizn+1-raizn=(raizn+1-raizn)(raizn+1+raizn)raizn+1+raizn=1raizn+1+raizn

Passo 3

Substituindo na expressão de an, obtemos
an=(raizn+1-raizn)raizn+tfrac12=raizn+tfrac12raizn+1+raizn

Passo 4

Para calcular o limite, dividimos numerador e denominador por raizn, que é o termo de maior ordem:
an=raizn+tfrac12raizn+1+raizn=raizn,raiz1+tfrac12nraiznl(raiz1+tfrac1n+1r)=raiz1+tfrac12nraiz1+tfrac1n+1

Passo 5

Agora aplicamos o limite quando ntoinfty. Como raiz1+1/(2n)to1 e raiz1+1/nto1, segue que
limntoinftyan=11+1=tfrac12

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan=tfrac12.

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