[5,0 pontos] Esboce o gráfico da função
f(x)= 1+sen(x), & se x<0 2 cos (x), & se 0 <= x <= pi sen(x), & se x>pi
e use-o para calcular os seguintes limites
a) lim x 0^- f(x)
b) lim x 0^+ f(x)
c) lim x 0 f(x)
d) lim x pi^- f(x)
e) lim x pi^+ f(x)
f) lim x pi f(x)

Passo 1

O enunciado pede que desenhemos o gráfico da função
f(x)=1+sin(x),&x<0,2cos(x),&0<= x<=pi,sin(x),&x>pi
e, a partir dele, calculemos vários limites.

Passo 2

Para x<0 temos f(x)=1+\sin(x), que é a senóide deslocada para cima em 1. Quando x→0^- vemos que \sin(x)→0, logo f(x)→1. No gráfico isso aparece como um ponto aberto em (0,1).
No intervalo 0≤x≤π, f(x)=2\cos(x). Aqui cos(x) varia de 1 até –1, então 2\cos(x) vai de 2 até –2. Fechamos ponto em (0,2) e em (π,−2) e desenhamos a curva decrescente de cosseno duplicada.
Para x>π temos f(x)=\sin(x). Em π^+ temos \sin(π)=0, resultando num ponto aberto em (π,0), e depois segue a senóide normal.

Passo 3

Agora vamos aos limites em x=0:
limxto0^-f(x)=limxto0^-(1+sin(x))=1
limxto0^+f(x)=limxto0^+(2cos(x))=2
Como os dois não coincidem, limxto0f(x) não existe.

Passo 4

E para x=π:


Como estes limites laterais diferem, não existe.

Resposta

a) 1
b) 2
c) não existe
d) –2
e) 0
f) não existe

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