Questão 2: Determine os seguintes limites, se existirem.
lim x 3 2 x^2-6 xx^2-2 x-3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando x se aproxima de 3 da expressão 2x^2 - 6xx^2 - 2x - 3 . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de funções racionais e simplificação de frações.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir x = 3 diretamente na expressão para ver o que acontece:
No numerador:
2(3)^2 - 6(3) = 18 - 18 = 0
No denominador:
(3)^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0
Vimos que ao substituir, tanto o numerador quanto o denominador dão zero, resultando em uma forma indeterminada 00 . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos então fatorar tanto o numerador quanto o denominador para simplificar a fração.
Numerador:
2x^2 - 6x = 2x(x - 3)
Aqui, fatoramos o 2x que é comum aos dois termos.
Denominador:
x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
Aqui, encontramos dois números que multiplicados dão -3 e somados dão -2, que são -3 e +1.

Passo 4

Agora, substituímos as fatorações na expressão original:
2x(x - 3)(x - 3)(x + 1)
Perceba que o termo (x - 3) aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-los:
2xx + 1
Isso simplifica bastante a expressão!

Passo 5

Com a expressão simplificada, podemos calcular o limite substituindo x = 3 :
2(3)3 + 1 = 64 = 32

Resposta

O limite é 32 .

Exercícios relacionados