[5,0 pontos] Seja f(x)=ln (e^-x-2), encontre a sua função inversa de f, isto é, f^-1, após determine seu domínio.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=lnl(e^-x-2r)
e pede sua inversa f^-1 e o domínio desta. Vamos precisar usar propriedades de logaritmo e exponencial para isolar x em função de y.

Passo 2

Defina y=f(x), ou seja
y = lnl(e^-x-2r)
Passamos para a forma exponencial aplicando a função exponencial em ambos os lados:
e^y = e^-x-2

Passo 3

Isolamos e^-x somando 2:
e^-x = e^y + 2
Em seguida aplicamos logaritmo natural para isolar -x:
-x = lnl(e^y+2r)
Logo
x = -lnl(e^y+2r)

Passo 4

Trocando o nome da variável de y para x (convencional em inversas), obtemos
f^-1(x) = -lnl(e^x + 2r)

Passo 5

Para determinar o domínio de f, exigimos o argumento do log positivo:
e^-x-2>0 Longrightarrow e^-x>2 Longrightarrow -x>ln2 Longrightarrow x<-ln2
Portanto o domínio de f é (-infty,-ln2).

Passo 6

Como f é contínua e estritamente decrescente em (-infty,-ln2), tem imagem igual a R. Essa imagem é exatamente o domínio de f^-1. Logo o domínio de f^-1 é
(-infty,infty)

Resposta

f^-1(x) = -lnl(e^x + 2r), Domínio de f^-1: ;(-infty,infty) í

Exercícios relacionados