[5,0 pontos] Seja f(x)=ln (e^x-2), encontre a sua função inversa de f, isto é, f^-1, após determine seu domínio.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa de f(x)=lnl(e^x-2r) e depois determinar o domínio dessa inversa. Vamos usar propriedades de logaritmo e exponencial para inverter a função e analisar restrições.

Passo 2

Começamos definindo y=f(x), ou seja, y=lnl(e^x-2r). Para achar a inversa, trocamos x por y e vice-versa: x=lnl(e^y-2r).

Passo 3

Aplicamos exponencial em ambos os lados:
e^x = e^y - 2

Passo 4

Isolamos e^y:
e^y = e^x + 2,
e por fim aplicamos logaritmo: y=lnl(e^x+2r). Logo a inversa é f^-1(x)=lnl(e^x+2r).

Passo 5

Para existir f(x) original, precisamos de e^x-2>0, ou seja e^x>2 e então x>ln2. Isso mostra que o domínio de f é (ln2,infty).
Como a imagem de f é R, a função inversa f^-1 está definida para todo xin R.

Resposta

f^-1(x)=lnl(e^x+2r), com domínio R.

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