[5,0 pontos ]
Use o teorema do confronto para mostrar que: lim x 0 raiz[5]x e^cos (pix i)=0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0 raiz[5]x,e^cosl(tfracpixr),
usando o Teorema do Confronto (ou “squeeze”). Vamos precisar das propriedades de cos e da função exponencial, além de ver que raiz[5]x=x^1/5 tende a zero quando xto0.

Passo 2

Sabemos que, para todo tinR,
-1 ;<=;cos(t);<=;1
Aplicando isso a t=tfracpix, obtemos
-1 ;<=;cos!l(tfracpixr);<=;1

Passo 3

Como a exponencial e^u é crescente em u, a desigualdade anterior implica
e^-1 ;<=;e^cos(tfracpix);<=;e^1

Passo 4

Agora consideramos o valor absoluto da expressão original para poder multiplicar sem cuidar do sinal de x^1/5:
l|raiz[5]x,e^cos(tfracpix)r| =|x|^1/5;e^cos(tfracpix)
Usando e^-1<= e^cos(pi/x)<= e^1, temos
0 ;<=;|x|^1/5e^-1 ;<=; |x|^1/5e^cos(tfracpix) ;<=; |x|^1/5e^1

Passo 5

Calculamos os limites das funções de contorno quando xto0:
limxto0 |x|^1/5e^-1 = e^-1limxto0|x|^1/5 =0,
limxto0 |x|^1/5e^1 = e^1limxto0|x|^1/5 =0

Passo 6

Pelo Teorema do Confronto, como
0 ;<=; l|raiz[5]x,e^cos(tfracpix)r| ;<=; |x|^1/5e^1
e o limite da função do meio está “espremido” entre duas que tendem a zero, concluímos
limxto0raiz[5]x,e^cos(tfracpix)=0

Resposta

0

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