Questão 1: Determine o domínio de cada função a seguir.
f(x)=5 xx^2-2 x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar o domínio da função f(x) = 5xx^2 - 2x - 3 . O domínio de uma função é simplesmente o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Para isso, precisamos entender um pouco sobre funções racionais, que são aquelas que envolvem frações onde o numerador e o denominador são polinômios. Nosso foco aqui vai ser garantir que o denominador nunca seja zero, porque divisão por zero não é permitida na matemática. Então, vamos precisar resolver quando o denominador x^2 - 2x - 3 é diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quando o denominador da função é igual a zero, já que nesses casos a função não está definida e esses valores de x não fazem parte do domínio. Ou seja, precisamos resolver a equação:
x^2 - 2x - 3 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de x que anulam o denominador. Podemos usar a fórmula de Bhaskara, que é uma maneira de resolver equações do segundo grau ax^2 + bx + c = 0 . A fórmula é:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
No nosso caso, a = 1 , b = -2 e c = -3 . Vamos substituir esses valores na fórmula:
x = -(-2) pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1 = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162
Simplificando mais:
x = 2 pm 42
Então, temos duas soluções:
x = 2 + 42 = 3 e x = 2 - 42 = -1

Passo 4

Os valores x = 3 e x = -1 são aqueles que fazem o denominador zero, então esses pontos não estão no domínio da função. Portanto, para determinar o domínio, excluímos esses dois valores de x . Em termos de intervalos, o domínio será todos os números reais menos esses dois pontos.

Resposta

O domínio da função f(x) = 5xx^2 - 2x - 3 é:
D(f) = R setminus -1, 3
Ou, em notação de intervalos:
D(f) = (-infty, -1) cup (-1, 3) cup (3, +infty)

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