[5,0 pts] Considere a sequência (an)n in N definida pela relação de recorrência
a1=1 e an+1=13(2 an+3)
(a) [2,5 pts] Mostre por meio do Princípio de Indução Matemática - PIM, que (an)n in N é monótona crescente e limitada.
(b) [2,5 pts] Conclua que esta sucessão é convergente e determine o seu limite.

Passo 1

Estamos lidando com a sequência l(anr)nin N dada por
a1=1, an+1=13l(2an+3r)
O que precisamos: usar o Princípio de Indução Matemática (PIM) para mostrar que ela é limitada (acima) e crescente. Depois, usar o Teorema de convergência de sequências monótonas e limitadas e, por fim, achar o limite L.

Passo 2

Prova de que an<3 para todo n (limitada acima):
Base ( n=1): temos a1=1<3, ok.
Passo indutivo: suponha ak<3. Então
ak+1=13l(2ak+3r)<13l(2cdot3+3r)=93=3
Logo, por indução, an<3 para todo n.
Portanto, (an) é limitada superiormente por 3.

Passo 3

Monotonicidade (crescente):
Calcule a diferença
an+1-an=13l(2an+3r)-an=2an+3-3an3=3-an3
Como já mostramos que an<3, segue que 3-an>0 e, portanto, an+1-an>0. Logo (an) é estritamente crescente.

Passo 4

Conclusão e cálculo do limite:
Uma sequência crescente e limitada acima é convergente. Sejam
L=limntoinftyan
Tendo continuidade na recorrência, passamos ao limite:
L=13l(2L+3r)
Multiplicando por 3:
3L=2L+3 Longrightarrow L=3

Resposta

A sequência converge e seu limite é 3.

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