Considere a sequência
definida pela relação de recorrência
(a)
Mostre por meio do Princípio de Indução Matemática - PIM, que
é monótona crescente e limitada.
(b)
Conclua que esta sucessão é convergente e determine o seu limite.
(b)
Passo 1
Estamos lidando com a sequência
dada por
O que precisamos: usar o Princípio de Indução Matemática (PIM) para mostrar que ela é limitada (acima) e crescente. Depois, usar o Teorema de convergência de sequências monótonas e limitadas e, por fim, achar o limite
.
Passo 2
Prova de que
para todo
(limitada acima):
Base ( ): temos
, ok.
Passo indutivo: suponha . Então
Base (
Passo indutivo: suponha
Logo, por indução,
para todo
.
Portanto, é limitada superiormente por 3.
Portanto,
Passo 3
Monotonicidade (crescente):
Calcule a diferença
Calcule a diferença
Como já mostramos que
, segue que
e, portanto,
. Logo
é estritamente crescente.
Passo 4
Conclusão e cálculo do limite:
Uma sequência crescente e limitada acima é convergente. Sejam
Uma sequência crescente e limitada acima é convergente. Sejam
Tendo continuidade na recorrência, passamos ao limite:
Multiplicando por 3:
Resposta
A sequência converge e seu limite é 3.