Sejam
e
subespaços de um espaço vetorial
.
(a) Mostre que
é um subespaço de
.
(b) Dê um exemplo que mostre que
não é um subespaço de
.
(a) Mostre que
(b) Dê um exemplo que mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial
e dois subespaços dele,
e
. A questão pede para a gente:
a) Mostrar que a interseção
também é um subespaço de
.
b) Dar um exemplo que prova que a união
não é necessariamente um subespaço de
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço, como verificar se um conjunto é um subespaço, e como trabalhar com interseções e uniões de conjuntos.
Passo 2
Vamos começar com a parte a). Primeiro, refrescando a memória: um subespaço de
é um conjunto que satisfaz três condições:
- Contém o vetor zero (
). - Fechado sob adição: se
e estão no subespaço, então também está. - Fechado sob multiplicação por escalar: se
está no subespaço e é um escalar, então também está.
Precisamos verificar se
satisfaz essas três condições.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Sabemos que
e
são subespaços, então ambos contêm o vetor zero de
. Isso significa que o vetor zero está tanto em
quanto em
, logo também está na interseção
.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer
e
em
. Como estão na interseção,
e
estão tanto em
quanto em
.
Como
é um subespaço,
está em
.
Do mesmo jeito, como
é um subespaço,
está em
.
Portanto,
está ambos em
e
, ou seja, está em
.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Pegue um vetor
em
e um escalar
.
Como
é um subespaço,
está em
.
Também, como
é um subespaço,
está em
.
Logo,
está em
.
Passo 4
Com essas três condições verificadas, podemos concluir que
é realmente um subespaço de
.
Agora, vamos para a parte b). Precisamos mostrar que a união de dois subespaços
não é necessariamente um subespaço. Para isso, basta encontrar um exemplo onde a união não satisfaz pelo menos uma das três condições de subespaço.
Passo 5
Exemplo:
Vamos considerar o espaço vetorial
(o plano cartesiano) e definir:
-
como o eixo : . -
como o eixo : .
A união
inclui todos os vetores que estão no eixo
ou no eixo
.
Vamos verificar se
é um subespaço.
1. Contém o vetor zero:
Sim, o vetor zero
está em ambos
e
, então está na união.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores em
. Por exemplo,
e
.
Somando
.
O vetor
não está nem em
nem em
, então não está em
.
Isso viola a condição de fechamento sob adição.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que a condição de adição não seja satisfeita, para completar o exemplo, podemos ver que a multiplicação por escalar funciona.
Por exemplo, se multiplicarmos
por qualquer escalar
, o resultado
está em
.
O mesmo vale para
em
.
No entanto, já que não está fechado sob adição,
não é um subespaço.
Resposta
Assim, mostramos que a interseção
é sempre um subespaço de
, enquanto a união
nem sempre é um subespaço, como demonstrado no exemplo com os eixos
e
em
.