Sejam S1 e S2 subespaços de um espaço vetorial V.
(a) Mostre que S1 cap S2 é um subespaço de V.
(b) Dê um exemplo que mostre que S1 cup S2 não é um subespaço de V.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um espaço vetorial V e dois subespaços dele, S1 e S2 . A questão pede para a gente:
a) Mostrar que a interseção S1 cap S2 também é um subespaço de V .
b) Dar um exemplo que prova que a união S1 cup S2 não é necessariamente um subespaço de V .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um subespaço, como verificar se um conjunto é um subespaço, e como trabalhar com interseções e uniões de conjuntos.

Passo 2

Vamos começar com a parte a). Primeiro, refrescando a memória: um subespaço de V é um conjunto que satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor zero ( 0 ).
  2. Fechado sob adição: se u e v estão no subespaço, então u + v também está.
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se u está no subespaço e c é um escalar, então cu também está.
Precisamos verificar se S1 cap S2 satisfaz essas três condições.

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Sabemos que S1 e S2 são subespaços, então ambos contêm o vetor zero de V . Isso significa que o vetor zero está tanto em S1 quanto em S2 , logo também está na interseção S1 cap S2 .
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer u e v em S1 cap S2 . Como estão na interseção, u e v estão tanto em S1 quanto em S2 .
Como S1 é um subespaço, u + v está em S1 .
Do mesmo jeito, como S2 é um subespaço, u + v está em S2 .
Portanto, u + v está ambos em S1 e S2 , ou seja, está em S1 cap S2 .
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Pegue um vetor u em S1 cap S2 e um escalar c .
Como S1 é um subespaço, cu está em S1 .
Também, como S2 é um subespaço, cu está em S2 .
Logo, cu está em S1 cap S2 .

Passo 4

Com essas três condições verificadas, podemos concluir que S1 cap S2 é realmente um subespaço de V .
Agora, vamos para a parte b). Precisamos mostrar que a união de dois subespaços S1 cup S2 não é necessariamente um subespaço. Para isso, basta encontrar um exemplo onde a união não satisfaz pelo menos uma das três condições de subespaço.

Passo 5

Exemplo:
Vamos considerar o espaço vetorial R^2 (o plano cartesiano) e definir:
  • S1 como o eixo x : S1 = (x, 0) | x in R .
  • S2 como o eixo y : S2 = (0, y) | y in R .
A união S1 cup S2 inclui todos os vetores que estão no eixo x ou no eixo y .
Vamos verificar se S1 cup S2 é um subespaço.
1. Contém o vetor zero:
Sim, o vetor zero (0,0) está em ambos S1 e S2 , então está na união.
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores em S1 cup S2 . Por exemplo, u = (1,0) in S1 e v = (0,1) in S2 .
Somando u + v = (1,1) .
O vetor (1,1) não está nem em S1 nem em S2 , então não está em S1 cup S2 .
Isso viola a condição de fechamento sob adição.
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Mesmo que a condição de adição não seja satisfeita, para completar o exemplo, podemos ver que a multiplicação por escalar funciona.
Por exemplo, se multiplicarmos u = (1,0) por qualquer escalar c , o resultado (c,0) está em S1 .
O mesmo vale para v = (0,1) em S2 .
No entanto, já que não está fechado sob adição, S1 cup S2 não é um subespaço.

Resposta

Assim, mostramos que a interseção S1 cap S2 é sempre um subespaço de V , enquanto a união S1 cup S2 nem sempre é um subespaço, como demonstrado no exemplo com os eixos x e y em R^2 .

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