Sejam
e
subespaços de um espaço vetorial
e defina a soma
.
(a) Determine
no caso em que
,
é o eixo
e
é o eixo
.
(b) Prove que
é um subespaço de
.
(a) Determine
(b) Prove que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, a questão fala sobre subespaços vetoriais e a soma deles dentro de um espaço vetorial
. No item (a), temos que
,
é o eixo
e
é o eixo
. Vamos precisar entender como somar esses subespaços para encontrar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Em
, um subespaço pode ser uma linha passando pela origem (como os eixos
,
, ou
) ou um plano passando pela origem.
Passo 3
Agora,
sendo o eixo
significa que todos os vetores em
têm a forma
, onde
é um número real. Similarmente,
sendo o eixo
significa que todos os vetores em
têm a forma
.
Passo 4
A soma
consiste em todos os vetores que podem ser formados adicionando um vetor de
com um vetor de
. Então, pegamos um vetor qualquer de
, digamos
, e outro de
, digamos
, e somamos:
Passo 5
Observando a soma, vemos que todos os vetores em
têm a forma
. Isso representa todos os pontos no plano formado pelos eixos
e
no espaço
. Então,
é esse plano.
Passo 6
Agora, vamos para o item (b). Aqui, precisamos provar que
é, de fato, um subespaço de
. Para isso, usamos os critérios que determinam se um conjunto é um subespaço vetorial.
Passo 7
Um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição vetorial.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 8
Primeiro, verificamos se
contém o vetor zero. Se tomarmos
de
e
de
, então
, que está em
.
Passo 9
Segundo, vamos ver se está fechado sob adição. Seja
e
em
. Então,
, que também tem a forma
, ou seja, está em
.
Passo 10
Terceiro, verificamos a multiplicação por escalar. Se
está em
e
é um escalar, então
, que também está na forma
, mantendo-se em
.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todas as condições de um subespaço vetorial, portanto,
é um subespaço de
.