Sejam S1 e S2 subespaços de um espaço vetorial V e defina a soma S1+ S2=u+v: u in S1, v in S2.
(a) Determine S1+S2 no caso em que V=R^3, S1 é o eixo x e S2 é o eixo z.
(b) Prove que S1+S2 é um subespaço de V.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, a questão fala sobre subespaços vetoriais e a soma deles dentro de um espaço vetorial V . No item (a), temos que V = R^3 , S1 é o eixo x e S2 é o eixo z . Vamos precisar entender como somar esses subespaços para encontrar S1 + S2 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Em R^3 , um subespaço pode ser uma linha passando pela origem (como os eixos x , y , ou z ) ou um plano passando pela origem.

Passo 3

Agora, S1 sendo o eixo x significa que todos os vetores em S1 têm a forma (x, 0, 0) , onde x é um número real. Similarmente, S2 sendo o eixo z significa que todos os vetores em S2 têm a forma (0, 0, z) .

Passo 4

A soma S1 + S2 consiste em todos os vetores que podem ser formados adicionando um vetor de S1 com um vetor de S2 . Então, pegamos um vetor qualquer de S1 , digamos (x, 0, 0) , e outro de S2 , digamos (0, 0, z) , e somamos:
(x, 0, 0) + (0, 0, z) = (x, 0, z)

Passo 5

Observando a soma, vemos que todos os vetores em S1 + S2 têm a forma (x, 0, z) . Isso representa todos os pontos no plano formado pelos eixos x e z no espaço R^3 . Então, S1 + S2 é esse plano.

Passo 6

Agora, vamos para o item (b). Aqui, precisamos provar que S1 + S2 é, de fato, um subespaço de V . Para isso, usamos os critérios que determinam se um conjunto é um subespaço vetorial.

Passo 7

Um subespaço vetorial deve satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição vetorial.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 8

Primeiro, verificamos se S1 + S2 contém o vetor zero. Se tomarmos u = (0, 0, 0) de S1 e v = (0, 0, 0) de S2 , então u + v = (0, 0, 0) , que está em S1 + S2 .

Passo 9

Segundo, vamos ver se está fechado sob adição. Seja a = (x1, 0, z1) e b = (x2, 0, z2) em S1 + S2 . Então, a + b = (x1 + x2, 0, z1 + z2) , que também tem a forma (x, 0, z) , ou seja, está em S1 + S2 .

Passo 10

Terceiro, verificamos a multiplicação por escalar. Se a = (x, 0, z) está em S1 + S2 e c é um escalar, então c cdot a = (c x, 0, c z) , que também está na forma (x, 0, z) , mantendo-se em S1 + S2 .

Resposta

Concluímos que S1 + S2 satisfaz todas as condições de um subespaço vetorial, portanto, S1 + S2 é um subespaço de V .

Exercícios relacionados