Mostre que o conjunto das funções
que são contínuas e tais que
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto das funções contínuas
que satisfazem
é um subespaço vetorial de
. A matéria aqui envolve espaços vetoriais e funções contínuas. Para resolver, vamos precisar verificar se esse conjunto atende aos critérios para ser um subespaço: se não é vazio, se é fechado sob adição de funções e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se o conjunto não é vazio. Um jeito fácil é encontrar pelo menos uma função que pertença a ele. Pense na função zero,
para todo
. Ela é contínua, e ao calcular a integral:
Então, a função zero está no nosso conjunto, garantindo que ele não é vazio.
Passo 3
Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções
e
que estão no conjunto, sua soma
também deve estar no conjunto. Sabemos que
e
são contínuas, e a soma de funções contínuas também é contínua.
Vamos calcular a integral da soma:
Então,
também satisfaz a condição da integral ser zero, ou seja,
está no nosso conjunto.
Passo 4
Por último, vamos conferir se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se
está no conjunto e
é um número real qualquer, então
também deve estar no conjunto. Sabemos que se
é contínua, então
também é contínua.
Calculando a integral multiplicada pelo escalar:
Portanto,
também satisfaz a condição da integral ser zero, logo
está no conjunto.
Resposta
Como verificamos que o conjunto não é vazio, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que o conjunto das funções contínuas
com
é, de fato, um subespaço vetorial de
.