Mostre que o conjunto das funções f: R R que são contínuas e tais que integral-1^1 f(t) d t=0 é um subespaço vetorial de F(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto das funções contínuas f: R R que satisfazem integral-1^1 f(t) , dt = 0 é um subespaço vetorial de F(R) . A matéria aqui envolve espaços vetoriais e funções contínuas. Para resolver, vamos precisar verificar se esse conjunto atende aos critérios para ser um subespaço: se não é vazio, se é fechado sob adição de funções e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se o conjunto não é vazio. Um jeito fácil é encontrar pelo menos uma função que pertença a ele. Pense na função zero, f(t) = 0 para todo t . Ela é contínua, e ao calcular a integral:
integral-1^1 0 , dt = 0
Então, a função zero está no nosso conjunto, garantindo que ele não é vazio.

Passo 3

Agora, vamos ver se o conjunto é fechado sob adição. Isso significa que se pegarmos duas funções f e g que estão no conjunto, sua soma f + g também deve estar no conjunto. Sabemos que f e g são contínuas, e a soma de funções contínuas também é contínua.
Vamos calcular a integral da soma:
integral-1^1 (f(t) + g(t)) , dt = integral-1^1 f(t) , dt + integral-1^1 g(t) , dt = 0 + 0 = 0
Então, f + g também satisfaz a condição da integral ser zero, ou seja, f + g está no nosso conjunto.

Passo 4

Por último, vamos conferir se o conjunto é fechado sob multiplicação por escalar. Isso quer dizer que se f está no conjunto e c é um número real qualquer, então c f também deve estar no conjunto. Sabemos que se f é contínua, então c f também é contínua.
Calculando a integral multiplicada pelo escalar:
integral-1^1 c f(t) , dt = c integral-1^1 f(t) , dt = c cdot 0 = 0
Portanto, c f também satisfaz a condição da integral ser zero, logo c f está no conjunto.

Resposta

Como verificamos que o conjunto não é vazio, é fechado sob adição e é fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que o conjunto das funções contínuas f: R R com integral-1^1 f(t) , dt = 0 é, de fato, um subespaço vetorial de F(R) .

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