Utilizando a definição de limite, mostrar que:
lim (x, y) (0,0) x y^3x^2+y^2=0

Passo 1

Estamos tratando do limite de uma função de duas variáveis em . O enunciado é mostrar que
usando a definição : para todo existe tal que, se
então

Passo 2

Começamos calculando o valor absoluto da função em relação ao limite proposto:
|x,y^3x^2+y^2| =|x|,|y|^3x^2+y^2

Passo 3

Defina r = raizx^2+y^2. Então temos
|x|<= r, |y|<= r,
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|x|,|y|^3<= rcdot r^3=r^4
Como x^2+y^2=r^2, obtemos
|x,y^3x^2+y^2| <=r^4r^2=r^2

Passo 4

Dado varepsilon>0, escolha
de<a = min1,raizvarepsilon
Se 0<raizx^2+y^2=r<de<a, então r<1 e r<raizvarepsilon. Assim,
|x,y^3x^2+y^2|<= r^2<de<a^2<=varepsilon
Isso mostra exatamente a condição |f(x,y)-0|<varepsilon.

Resposta

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