9ª Questão. Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado pelo método dos discos/arruelas. Obs.: Esboce a região a ser rotacionada e identifique os elementos da seção transversal para calcular o volume do sólido.
x=1+y^{2}, y=x-3; em torno do eixo y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas x=1+y^2 (parábola com concavidade para a direita) e y=x-3 (reta), em torno do eixo y. Para isso vamos usar o método dos discos/arruelas, que consiste em considerar secções transversais perpendiculares ao eixo de rotação e integrar a área dessas secções.

Passo 2

Para encontrar os limites de integração, determinamos os pontos de interseção entre as curvas resolvendo
1 + y^2 = x \quad\text{e}\quad y = x - 3.
Substituindo x = y+3 na parábola:
1 + y^2 = y + 3 \quad\Longrightarrow\quad y^2 - y - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (y-2)(y+1)=0,
logo os pontos de interseção ocorrem em y=-1 e y=2.

Passo 3

Em cada y\in[-1,2], a reta y=x-3 fornece
x_{\text{externo}} = y+3,
e a parábola x=1+y^2 fornece
x_{\text{interno}} = 1 + y^2.
Como vamos girar em torno do eixo y, o raio externo da arruela é R(y)=y+3 e o raio interno é r(y)=1+y^2.

Passo 4

O volume é dado pela integral das áreas das arruelas:
V = \int_{-1}^{2} \pi\Bigl[R(y)^2 - r(y)^2\Bigr]\,dy = \int_{-1}^{2} \pi\bigl[(y+3)^2 - (1+y^2)^2\bigr]\,dy.

Passo 5

Expandindo o integrando:
(y+3)^2 = y^2 + 6y + 9, \quad (1+y^2)^2 = y^4 + 2y^2 + 1,
(y+3)^2 - (1+y^2)^2 = -y^4 - y^2 + 6y + 8.
Uma antiderivada é
F(y) = -\frac{y^5}{5} - \frac{y^3}{3} + 3y^2 + 8y.

Passo 6

Avaliaremos de -1 a 2:
F(2) = -\frac{32}{5} - \frac{8}{3} + 12 + 16 = \frac{284}{15}, \quad F(-1)= \frac{1}{5} + \frac{1}{3} +3 -8 = -\frac{67}{15},
V = \pi\bigl[F(2)-F(-1)\bigr] = \pi\Bigl(\frac{284}{15} + \frac{67}{15}\Bigr) = \frac{351}{15}\,\pi = \frac{117}{5}\,\pi.

Resposta

\displaystyle \frac{117\pi}{5}

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