Questão 6. Qual é a equação de uma parábola de foco F(3,0), eixo y=0 e que passa pelo ponto (6,4) ?
x-3=\frac{1}{4} y^{2} x-2=-\frac{1}{4} y^{2} x-3=-\frac{1}{4} y^{2} x-2=\frac{1}{4} y^{2}
Nenhuma x-2=-\frac{1}{16} y^{2} x-3=-\frac{1}{16} y^{2}

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma parábola cujo foco é (3,0), o eixo principal é a reta y=0 (isto é, a parábola tem eixo horizontal) e que passa pelo ponto (6,4). Para resolver, vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos que têm distância ao foco igual à distância à diretriz, e depois ajustar ao padrão canônico de uma parábola com eixo horizontal.

Passo 2

Como o eixo é y=0, a diretriz é uma reta vertical do tipo x=d. Seja P=(x,y) um ponto qualquer da parábola. A distância de P ao foco (3,0) é
PF=\sqrt{(x-3)^2 + y^2},
e a distância de P à diretriz x=d é
\mathrm{dist}(P,\text{diretriz}) = |x - d|.
Pela definição de parábola, essas distâncias são iguais:
\sqrt{(x-3)^2 + y^2} = |x - d|.

Passo 3

Como a parábola passa por P=(6,4), substituímos e obtemos
\sqrt{(6-3)^2 + 4^2} = |6 - d| \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{9 + 16} = |6 - d| \quad\Longrightarrow\quad 5 = |6 - d|.
A parábola abre para a direita (já que o foco fica à direita da diretriz), logo 6 - d > 0 e temos
6 - d = 5 \quad\Longrightarrow\quad d = 1.
Portanto a diretriz é x=1.

Passo 4

O vértice da parábola fica exatamente no ponto médio entre foco e diretriz, sobre o eixo y=0. Assim
x_{\text{vértice}} = \frac{3 + 1}{2} = 2,é
e a ordenada é 0, logo o vértice é (2,0). A distância focal (o parâmetro p) é a distância do vértice ao foco:
p = 3 - 2 = 1.

Passo 5

Para uma parábola com eixo horizontal e vértice em (h,k), a forma canônica é
(y - k)^2 = 4p\,(x - h).
Aqui h=2, k=0 e p=1, então
(y - 0)^2 = 4\cdot1\,(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 4(x - 2) \quad\Longrightarrow\quad x - 2 = \tfrac{1}{4}\,y^2.

Resposta

x- 2=\frac{1}{4} y^{2}

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