Questão 9 Calcule a curvatura da curva dada.
\gamma(t)=\left(t^{3}, t^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a curvatura da curva planar
\gamma(t) = \bigl(t^3,\,t^2\bigr).
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da curvatura para curvas planas em parametrização arbitrária:
\kappa(t) = \frac{\bigl|\dot x(t)\,\ddot y(t)-\dot y(t)\,\ddot x(t)\bigr|} {\bigl(\dot x(t)^{2}+\dot y(t)^{2}\bigr)^{3/2}},
onde \gamma(t)=(x(t),y(t)).

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas primeiras de x(t)=t^3 e y(t)=t^2:
\dot x(t)=3t^2, \qquad \dot y(t)=2t.

Passo 3

Agora as derivadas segundas:
\ddot x(t)=6t, \qquad \ddot y(t)=2.

Passo 4

Montamos o numerador da fórmula:
\dot x(t)\,\ddot y(t)-\dot y(t)\,\ddot x(t) =3t^2\cdot2 \;-\;2t\cdot6t =6t^2-12t^2=-6t^2,
portanto
\bigl|\dot x\,\ddot y-\dot y\,\ddot x\bigr|=6t^2.

Passo 5

Calculamos o denominador:
\dot x(t)^2+\dot y(t)^2 =(3t^2)^2+(2t)^2 =9t^4+4t^2 =t^2\,(9t^2+4).
Elevando à potência 3/2,
\bigl(\dot x^2+\dot y^2\bigr)^{3/2} =\bigl(t^2\,(9t^2+4)\bigr)^{3/2} =\lvert t\rvert^3\,(9t^2+4)^{3/2}.

Passo 6

Substituindo numerador e denominador na fórmula da curvatura, obtemos
\kappa(t) = \frac{6t^2}{\lvert t\rvert^3\,(9t^2+4)^{3/2}} =\frac{6}{\lvert t\rvert\,(9t^2+4)^{3/2}}.
Em particular, para t>0 isso fica
\kappa(t)=\frac{6}{t\,(9t^2+4)^{3/2}}.

Resposta

\boxed{\kappa(t)=\frac{6}{\lvert t\rvert\,(9t^2+4)^{3/2}},}
com a forma simplificada \kappa(t)=6/\bigl(t\,(9t^2+4)^{3/2}\bigr) quando t>0.

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