Questão 4 Calcule \gamma^{\prime}(t) e \gamma^{\prime \prime}(t)
\gamma(t)=\sqrt[3]{t^{2} i}+\cos \left(t^{2}\right) \vec{j}+3 t \vec{k}.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva vetorial
\gamma(t)=\sqrt[3]{t^{2}}\;\vec i+\cos\bigl(t^{2}\bigr)\,\vec j+3t\,\vec k
e pede \gamma'(t) e \gamma''(t). Para resolver, vamos diferenciar componente a componente, aplicando a regra da potência e a regra da cadeia.

Passo 2

Componente em \vec i:
f(t)=t^{\tfrac{2}{3}}.
Pela regra da potência,
f'(t)=\frac{2}{3}\,t^{-\tfrac{1}{3}},
e
f''(t)=\frac{2}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{3}\Bigr)t^{-\tfrac{4}{3}} =-\frac{2}{9}\,t^{-\tfrac{4}{3}}.

Passo 3

Componente em \vec j:
g(t)=\cos\bigl(t^{2}\bigr).
Pela regra da cadeia,
g'(t)=-\sin\bigl(t^{2}\bigr)\cdot 2t=-2t\sin\bigl(t^{2}\bigr).
Para g''(t), aplicamos produto e cadeia a -2t\sin(t^{2}):
g''(t)=-2\sin\bigl(t^{2}\bigr)-2t\cdot\bigl(2t\cos(t^{2})\bigr) =-2\sin\bigl(t^{2}\bigr)-4t^{2}\cos\bigl(t^{2}\bigr).

Passo 4

Componente em \vec k:
h(t)=3t.
Logo
h'(t)=3, \qquad h''(t)=0.

Passo 5

Reunindo as derivadas de cada componente, obtemos
\gamma'(t) =f'(t)\,\vec i+g'(t)\,\vec j+h'(t)\,\vec k =\frac{2}{3}t^{-\tfrac{1}{3}}\;\vec i -2t\sin\bigl(t^{2}\bigr)\;\vec j +3\;\vec k
e
\gamma''(t) =f''(t)\,\vec i+g''(t)\,\vec j+h''(t)\,\vec k =-\frac{2}{9}t^{-\tfrac{4}{3}}\;\vec i +\bigl(-2\sin\bigl(t^{2}\bigr)-4t^{2}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\bigr)\;\vec j +0\;\vec k.

Resposta

\gamma'(t) =\frac{2}{3}t^{-\tfrac{1}{3}}\;\vec i -2t\sin\bigl(t^{2}\bigr)\;\vec j +3\;\vec k,
\gamma''(t) =-\frac{2}{9}t^{-\tfrac{4}{3}}\;\vec i -\bigl(2\sin\bigl(t^{2}\bigr)+4t^{2}\cos\bigl(t^{2}\bigr)\bigr)\;\vec j.

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