De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia retira-se uma amostra de 400 válvulas, e obtém-se a vida média de 800 horas e o desvio padrão de 100 horas.
(a) Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população?
(b) Com que confiança dir-se-ia que a vida média é
?
© Que tamanho deve ter a amostra para que seja de
a confiança na estimativa
?
(Que suposições você fez para responder às questões acima?)
(a) Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população?
(b) Com que confiança dir-se-ia que a vida média é
© Que tamanho deve ter a amostra para que seja de
(Que suposições você fez para responder às questões acima?)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística envolvendo intervalos de confiança. A gente precisa encontrar o intervalo de confiança para a vida média das válvulas fabricadas por uma companhia. Para isso, vamos precisar entender conceitos como média, desvio padrão, tamanho da amostra e níveis de confiança. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população?
Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. É uma faixa de valores que, com certa confiança, contém a média verdadeira da população. Para calcular isso, usamos a fórmula:
Onde:
-
é a média da amostra (800 horas) -
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança (99%) -
é o desvio padrão da amostra (100 horas) -
é o tamanho da amostra (400)
Para um nível de confiança de 99%, o valor de
é aproximadamente 2,576.
Agora, substituindo os valores:
Então, o intervalo de confiança de 99% é de 787,12 a 812,88 horas.
Passo 3
Parte (b): Com que confiança dir-se-ia que a vida média é
?
Aqui, queremos encontrar o nível de confiança que corresponde a uma margem de erro de ±0,98 horas. Usamos a mesma fórmula do intervalo de confiança, mas vamos resolver para
:
Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse
. Um
de 0,196 corresponde a aproximadamente 0,577 da distribuição normal. Como o intervalo é bilateral, a confiança é:
Mas como a confiança máxima é 100%, isso indica que uma margem de erro tão pequena não é viável com os dados fornecidos. Provavelmente, houve um erro nos valores ou nos cálculos.
Passo 4
Parte ©: Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95% a confiança na estimativa
?
Aqui, queremos encontrar o tamanho da amostra
que nos dá uma margem de erro de ±7,84 horas com 95% de confiança. Usamos a fórmula do intervalo de confiança rearranjada para
:
Para 95% de confiança,
é aproximadamente 1,96.
Substituindo os valores:
Então, precisamos de uma amostra de 625 válvulas para obter a estimativa desejada com 95% de confiança.
Passo 5
Suposições feitas:
- Distribuição Normal: Assumimos que a distribuição das vidas das válvulas é aproximadamente normal.
- Amostragem Aleatória: A amostra de 400 válvulas foi selecionada de forma aleatória e representativa da população.
- Tamanho da Amostra: A amostra é suficientemente grande (n ≥ 30) para aplicar o Teorema Central do Limite, garantindo que a distribuição da média amostral seja normal.
- Desvio Padrão Conhecido: Utilizamos o desvio padrão da amostra como uma estimativa do desvio padrão da população.
Resposta
(a) O intervalo de confiança de 99% para a vida média das válvulas é de 787,12 a 812,88 horas.