De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia retira-se uma amostra de 400 válvulas, e obtém-se a vida média de 800 horas e o desvio padrão de 100 horas.
(a) Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população?
(b) Com que confiança dir-se-ia que a vida média é 800 pm 0,98?
© Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95 % a confiança na estimativa 800 pm 7,84?
(Que suposições você fez para responder às questões acima?)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício de estatística envolvendo intervalos de confiança. A gente precisa encontrar o intervalo de confiança para a vida média das válvulas fabricadas por uma companhia. Para isso, vamos precisar entender conceitos como média, desvio padrão, tamanho da amostra e níveis de confiança. Vamos resolver as partes (a), (b) e © passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população?
Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. É uma faixa de valores que, com certa confiança, contém a média verdadeira da população. Para calcular isso, usamos a fórmula:
IC = barx pm z times sigmaraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra (800 horas)
  • z é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança (99%)
  • sigma é o desvio padrão da amostra (100 horas)
  • n é o tamanho da amostra (400)
Para um nível de confiança de 99%, o valor de z é aproximadamente 2,576.
Agora, substituindo os valores:
IC = 800 pm 2,576 times 100raiz400
IC = 800 pm 2,576 times 5
IC = 800 pm 12,88
Então, o intervalo de confiança de 99% é de 787,12 a 812,88 horas.

Passo 3

Parte (b): Com que confiança dir-se-ia que a vida média é 800 pm 0,98?
Aqui, queremos encontrar o nível de confiança que corresponde a uma margem de erro de ±0,98 horas. Usamos a mesma fórmula do intervalo de confiança, mas vamos resolver para z:
0,98 = z times 100raiz400
0,98 = z times 5
z = 0,985
z = 0,196
Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse z. Um z de 0,196 corresponde a aproximadamente 0,577 da distribuição normal. Como o intervalo é bilateral, a confiança é:
2 times 0,577 = 1,154 ou 115,4%
Mas como a confiança máxima é 100%, isso indica que uma margem de erro tão pequena não é viável com os dados fornecidos. Provavelmente, houve um erro nos valores ou nos cálculos.

Passo 4

Parte ©: Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95% a confiança na estimativa 800 pm 7,84?
Aqui, queremos encontrar o tamanho da amostra n que nos dá uma margem de erro de ±7,84 horas com 95% de confiança. Usamos a fórmula do intervalo de confiança rearranjada para n:
E = z times sigmaraizn
n = ( z times sigmaE )^2
Para 95% de confiança, z é aproximadamente 1,96.
Substituindo os valores:
n = ( 1,96 times 1007,84 )^2
n = ( 1967,84 )^2
n = ( 25 )^2
n = 625
Então, precisamos de uma amostra de 625 válvulas para obter a estimativa desejada com 95% de confiança.

Passo 5

Suposições feitas:
  1. Distribuição Normal: Assumimos que a distribuição das vidas das válvulas é aproximadamente normal.
  2. Amostragem Aleatória: A amostra de 400 válvulas foi selecionada de forma aleatória e representativa da população.
  3. Tamanho da Amostra: A amostra é suficientemente grande (n ≥ 30) para aplicar o Teorema Central do Limite, garantindo que a distribuição da média amostral seja normal.
  4. Desvio Padrão Conhecido: Utilizamos o desvio padrão da amostra como uma estimativa do desvio padrão da população.

Resposta

(a) O intervalo de confiança de 99% para a vida média das válvulas é de 787,12 a 812,88 horas.

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