A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg. Se a distribuição
dos pesos dos usuários for suposta
:
(a) Qual é a probabilidade de sete passageiros ultrapassarem esse limite?
(b) E seis passageiros?
(a) Qual é a probabilidade de sete passageiros ultrapassarem esse limite?
(b) E seis passageiros?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a capacidade máxima de um elevador, que é de 500 kg. A gente sabe que o peso dos usuários segue uma distribuição normal, representada por $ X \sim N(70, 100) $. Ou seja, cada passageiro tem, em média, 70 kg de peso e uma variação (desvio padrão) de 10 kg (já que a variância é 100). A gente quer descobrir a probabilidade de que, com sete ou seis passageiros, o peso total ultrapasse o limite de 500 kg.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que quando somamos pesos de várias pessoas que seguem uma distribuição normal, a soma também segue uma distribuição normal. Isso facilita bastante nossa vida porque podemos usar as propriedades da distribuição normal para calcular as probabilidades.
Passo 3
Vamos chamar o número de passageiros de $ n $. A soma dos pesos de $ n $ passageiros, $ S_n $, vai seguir uma distribuição normal com média $ \mu_S = n \times \mu $ e variância $ \sigma_S^2 = n \times \sigma^2 $, onde $ \mu = 70 $ kg e $ \sigma^2 = 100 $ kg².
Passo 4
Para o item (a), com sete passageiros ($ n = 7 $):
- Média da soma: $ \mu_S = 7 \times 70 = 490 $ kg
- Variância da soma: $ \sigma_S^2 = 7 \times 100 = 700 $ kg²
- Desvio padrão da soma: $ \sigma_S = \sqrt{700} \approx 26,46 $ kg
Passo 5
Queremos saber a probabilidade de $ S_7 > 500 $ kg. Para isso, vamos padronizar usando a fórmula do escore z:
Passo 6
Agora, precisamos encontrar a probabilidade de $ Z > 0,38 $ na distribuição normal padrão. Consultando uma tabela de distribuição normal ou usando uma calculadora, encontramos que $ P(Z > 0,38) \approx 0,352 $. Isso significa que há aproximadamente 35,2% de chance de sete passageiros ultrapassarem o limite de 500 kg.
Passo 7
Para o item (b), com seis passageiros ($ n = 6 $):
- Média da soma: $ \mu_S = 6 \times 70 = 420 $ kg
- Variância da soma: $ \sigma_S^2 = 6 \times 100 = 600 $ kg²
- Desvio padrão da soma: $ \sigma_S = \sqrt{600} \approx 24,49 $ kg
Passo 8
Queremos saber a probabilidade de $ S_6 > 500 $ kg. Usamos novamente o escore z:
Passo 9
Consultando a tabela da distribuição normal, $ P(Z > 3,27) $ é muito pequeno, praticamente 0,1%. Isso significa que há apenas cerca de 0,1% de chance de seis passageiros ultrapassarem o limite de 500 kg.
Resposta
(a) A probabilidade de sete passageiros ultrapassarem o limite de 500 kg é de aproximadamente 35,2%.
(b) A probabilidade de seis passageiros ultrapassarem o limite de 500 kg é de aproximadamente 0,1%.