Uma v.a. X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10.
(a) Qual a P(90?
(b) Se barX for a média de uma amostra de 16 elementos retirados dessa população, calcule P(90.
© Represente, num único gráfico, as distribuições de X e barX.
(d) Que tamanho deveria ter a amostra para que P(90?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício sobre distribuição normal. A gente tem uma variável aleatória $ X $ que segue uma distribuição normal com média ($ \mu X ã \sigma $) igual a 10. Vamos usar conceitos de probabilidade e propriedades da distribuição normal para resolver as partes (a) até (d).

Passo 2

Parte (a): Qual a $ P(90 < X < 110) $?
Primeiro, a gente quer achar a probabilidade de $ X $ estar entre 90 e 110. Como $ X $ é normal com média 100 e desvio padrão 10, vamos padronizar esses valores para usar a tabela da distribuição normal padrão.
A fórmula para padronizar é:
P(90 < X < 110)
Então:
Para $ X = 90 $:
X
Para $ X = 110 $:
X
Agora, queremos $ P(-1 < Z < 1) $. Sabemos que, na distribuição normal padrão, aproximadamente 68% dos dados estão dentro de um desvio padrão da média. Então:
Z = X - musigma

Passo 3

Parte (b): Se $ \bar{X} $ for a média de uma amostra de 16 elementos, calcule $ P(90 < \bar{X} < 110) $.
Aqui, estamos lidando com a média amostral $ \bar{X} $. A média de $ \bar{X} $ também segue uma distribuição normal, com a mesma média $ \mu = 100 $, mas com desvio padrão reduzido, conhecido como erro padrão da média:
barX
Agora, queremos $ P(90 < \bar{X} < 110) $.
Vamos padronizar:
Para $ \bar{X} = 90 $:
P(90 < barX < 110)
Para $ \bar{X} = 110 $:
barX
Então:
barX
Na distribuição normal padrão, praticamente 100% dos dados estão entre $ Z = -4 $ e $ Z = 4 $. Então:
mu = 100

Passo 4

Parte ©: Represente, num único gráfico, as distribuições de $ X $ e $ \bar{X} $.
Vamos imaginar um gráfico com o eixo X representando os valores de $ X $ e $ \bar{X} $. Temos duas curvas de distribuição normal:
  1. Distribuição de $ X $: Média 100, desvio padrão 10.
  2. Distribuição de $ \bar{X} $: Média 100, desvio padrão 2.5.
No gráfico, as duas curvas estarão centradas em 100, mas a curva de $ \bar{X} $ será mais “apertada” por ter um desvio padrão menor, mostrando que a média amostral tende a variar menos que a individual.

Passo 5

Parte (d): Que tamanho deveria ter a amostra para que $ P(90 < \bar{X} < 110) = 0,95 $?
Queremos achar o tamanho da amostra $ n $ tal que a probabilidade da média amostral $ \bar{X} $ estar entre 90 e 110 seja 95%.
Primeiro, sabemos que:
P(90 < barX < 110) = 0,95
Queremos:
n
Padronizando:
barX
Queremos que $ P(-z^* < Z < z^) = 0.95 $. O valor de $ z^ $ para 95% é aproximadamente 1.96.
Então:
sigmabarX = sigmaraizn
Substituindo $ \sigma_{\bar{X}} $:
P(90 < barX < 110) = 0.95
Então:
Z = barX - musigmabarX
Elevando ao quadrado:
P(-z^* < Z < z^*) = 0.95
Como o tamanho da amostra precisa ser inteiro, arredondamos para cima:
z^*

Resposta

(a) $ P(90 < X < 110) \approx 68% $
(b) $ P(90 < \bar{X} < 110) \approx 100% $
© As distribuições de $ X $ e $ \bar{X} $ são representadas em um gráfico onde ambas têm média 100, mas $ X $ tem desvio padrão 10 e $ \bar{X} $ tem desvio padrão 2.5.
(d) O tamanho da amostra necessário é $ n = 4 $.

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