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O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano
que satisfazem
é uma elipse, cuja distância entre os focos, em unidades de comprimento, vale
(A) 0,6 .
(B) 0,8 .
(C) 1,2 .
(D) 1,6 .
(A) 0,6 .
(B) 0,8 .
(C) 1,2 .
(D) 1,6 .
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede a distância entre os focos da elipse que representa esse lugar geométrico.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva é a elipse dada por
. - O que se quer: a distância entre os focos (ou seja, o comprimento do segmento que liga os dois focos).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma elipse centrada na origem. A forma padrão (horizontal) é
onde
e
são os semi-eixos (meias‑distâncias até os vértices). Dividindo a equação dada por
para deixá‑la igual a
:
ou seja
Agora comparar com a forma padrão
. Isso nos dá
e
Portanto
e
.
Passo 3
Interpretar
e
. O semi-eixo maior é o maior entre
e
. Como
temos
, logo a elipse é mais esticada ao longo do eixo
(e os focos estão sobre o eixo
, nas posições
). Aqui:
Passo 4
Apresentar e justificar a fórmula que liga
,
e
. Para uma elipse com centro na origem e focos em
vale a relação
Breve justificativa (geométrica e simples): tomar o ponto
sobre a elipse. As distâncias desse ponto aos dois focos
são ambas
, e pela definição de elipse a soma dessas duas distâncias é
. Assim
, o que implica
e elevando ao quadrado obtém‑se
, i.e.
.
Passo 5
Calcular
numericamente. Usar os valores de
e
encontrados:
Logo
Passo 6
A distância entre os dois focos é
. Portanto
Comparando com as alternativas do enunciado, corresponde à alternativa (D).
Resposta
(D)