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O lugar geométrico dos pontos do plano cartesiano \mathbb{R} \times \mathbb{R} que satisfazem 9 x^{2}+25 y^{2}=9 é uma elipse, cuja distância entre os focos, em unidades de comprimento, vale
(A) 0,6 .
(B) 0,8 .
(C) 1,2 .
(D) 1,6 .

Passo 1

O enunciado dá a equação
9x^{2}+25y^{2}=9
e pede a distância entre os focos da elipse que representa esse lugar geométrico.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva é a elipse dada por \,9x^{2}+25y^{2}=9.
  • O que se quer: a distância entre os focos (ou seja, o comprimento do segmento que liga os dois focos).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma elipse centrada na origem. A forma padrão (horizontal) é
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,
onde a e b são os semi-eixos (meias‑distâncias até os vértices). Dividindo a equação dada por 9 para deixá‑la igual a 1:
\frac{9x^{2}}{9}+\frac{25y^{2}}{9}=1
ou seja
x^{2}+\frac{25}{9}y^{2}=1.
Agora comparar com a forma padrão \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1. Isso nos dá
\frac{x^{2}}{a^{2}}=\\ x^{2}\quad\Rightarrow\quad a^{2}=1,
e
\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{25}{9}y^{2}\quad\Rightarrow\quad \frac{1}{b^{2}}=\frac{25}{9}\quad\Rightarrow\quad b^{2}=\frac{9}{25}.
Portanto \,a^{2}=1 e \,b^{2}=\dfrac{9}{25}.

Passo 3

Interpretar a e b. O semi-eixo maior é o maior entre a e b. Como
a^{2}=1> \frac{9}{25}=b^{2},
temos a>b, logo a elipse é mais esticada ao longo do eixo x (e os focos estão sobre o eixo x, nas posições (\pm c,0)). Aqui:
a=\sqrt{a^{2}}=\sqrt{1}=1,\qquad b=\sqrt{b^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.

Passo 4

Apresentar e justificar a fórmula que liga a, b e c. Para uma elipse com centro na origem e focos em (\pm c,0) vale a relação
c^{2}=a^{2}-b^{2}.
Breve justificativa (geométrica e simples): tomar o ponto (0,b) sobre a elipse. As distâncias desse ponto aos dois focos (\pm c,0) são ambas \sqrt{c^{2}+b^{2}}, e pela definição de elipse a soma dessas duas distâncias é 2a. Assim 2\sqrt{c^{2}+b^{2}}=2a, o que implica \sqrt{c^{2}+b^{2}}=a e elevando ao quadrado obtém‑se c^{2}+b^{2}=a^{2}, i.e. c^{2}=a^{2}-b^{2}.

Passo 5

Calcular c numericamente. Usar os valores de a^{2} e b^{2} encontrados:
c^{2}=a^{2}-b^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{25}{25}-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}.
Logo
c=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.

Passo 6

A distância entre os dois focos é 2c. Portanto
2c=2\cdot\frac{4}{5}=\frac{8}{5}=1,6.
Comparando com as alternativas do enunciado, corresponde à alternativa (D).

Resposta

(D) 1,6

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