Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas:
Fórmula do jacobiano para mudança de variável:
Mudança: .
Jacobiano: .
Mudança para coordenadas polares:
Mudança: .
Jacobiano: .
Mudança para coordenadas esféricas:
Mudança: , .
Jacobiano: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla que está em coordenadas cartesianas e transformar tudo para coordenadas esféricas. Isso envolve entender como mudar de sistema de coordenadas e usar o jacobiano dessa transformação. Vamos precisar das fórmulas de mudança para coordenadas esféricas e do jacobiano correspondente para ajustar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar e os limites de integração. A função é e os limites de integração definem uma região esférica com raio 3, já que .
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sin(phi) cos(theta)
y = rho sin(phi) sin(theta)
z = rho cos(phi)
E o jacobiano dessa transformação é:
J = rho^2 sin(phi)
Vamos substituir z = rho cos(phi) e raizx^2+y^2+z^2 = rho na função:
z raizx^2+y^2+z^2 = rho cos(phi) cdot rho = rho^2 cos(phi)
Então, a função se torna:
Passo 4
Com isso, a integral em coordenadas esféricas fica: