Calcule a integral, transformando para coordenadas esféricas:
integral-3^3 integral-raiz9-x^2^raiz9-x^2 integral0^raiz9-x^2-y^2 z raizx^2+y^2+z^2 d z d y d x
Fórmula do jacobiano para mudança de variável:
Mudança: x=x(u, v), y=y(u, v).
Jacobiano: partial(x, y)partial(u, v)=partial xpartial u partial ypartial v-partial xpartial v partial ypartial u.
Mudança para coordenadas polares:
Mudança: x(r, theta)=r cos (theta), y(r, theta)=r sen(theta).
Jacobiano: partial(x, y)partial(r, theta)=partial xpartial r partial ypartial theta-partial xpartial theta partial ypartial r=r.
Mudança para coordenadas esféricas:
Mudança: x(rho, theta, phi)=rho sen(phi) cos (theta),
y(rho, theta, phi)=rho sen(phi) sen(theta), z(rho, theta, phi)=rho cos (phi).
Jacobiano: |partial(x, y, z)partial(rho, theta, phi)|=rho^2 sen(phi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral tripla que está em coordenadas cartesianas e transformar tudo para coordenadas esféricas. Isso envolve entender como mudar de sistema de coordenadas e usar o jacobiano dessa transformação. Vamos precisar das fórmulas de mudança para coordenadas esféricas e do jacobiano correspondente para ajustar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que vamos integrar e os limites de integração. A função é e os limites de integração definem uma região esférica com raio 3, já que .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas esféricas. Nas coordenadas esféricas, temos:
x = rho sin(phi) cos(theta)
y = rho sin(phi) sin(theta)
z = rho cos(phi)
E o jacobiano dessa transformação é:
J = rho^2 sin(phi)
Vamos substituir z = rho cos(phi) e raizx^2+y^2+z^2 = rho na função:
z raizx^2+y^2+z^2 = rho cos(phi) cdot rho = rho^2 cos(phi)
Então, a função se torna:

Passo 4

Com isso, a integral em coordenadas esféricas fica:
integral0^2pi integral0^pi/2 integral0^3 rho^2 cos(phi) cdot rho^2 sin(phi) , drho , dphi , dtheta
Aqui, ajustamos os limites:
  • varia de 0 a 3.
  • varia de 0 a porque é positivo.
  • varia de 0 a para cobrir toda a circunferência.

Passo 5

Agora, simplificamos a integral:
integral0^2pi dtheta cdot integral0^pi/2 cos(phi) sin(phi) , dphi cdot integral0^3 rho^4 , drho
Integrando cada parte:
  • Integração em integral0^2pi dtheta = 2pi :
integral0^pi/2 cos(phi) sin(phi) , dphi = 12
  • Integração em integral0^3 rho^4 , drho = 3^55 = 2435 :
2pi cdot 12 cdot 2435 = 243pi5
  • Integração em :
Multiplicando tudo:

Resposta

O valor da integral é .

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