Classifique cada uma das superfícies abaixo como um tipo de quádricas (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico) e faça um esboço representativo no espaço tridimensional. Justifique sua classificação com base na forma da equação.
.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a superfície
como um tipo de quádricas e esboçá-la. Aqui vamos usar o fato de que, na forma padrão
o número de coeficientes positivos e negativos determina se é elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, etc.
Passo 2
Comparemos com
Aqui há exatamente um coeficiente positivo (para
) e dois coeficientes negativos (para
e
). Essa configuração de sinais caracteriza um hiperbolóide de duas folhas.
Passo 3
Para ver por que são duas folhas, note que a equação pode ser reescrita como
Do lado direito exige-se
, ou seja
Isso significa que não existem pontos com
: a superfície se divide em duas partes desconectadas, uma para
e outra para
.
Passo 4
Para esboçar, pegue fatias de
:
- Se
, a seção é , um ponto. - Se
, obtemos círculos de raio no plano .
Assim cada “folha” nasce a partir de um ponto eme vai abrindo como um copo de boca crescente conforme aumenta, simetricamente em relação ao plano .
Resposta
A superfície
é um hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo
.