(2,50) Classifique cada uma das superfícies abaixo como um tipo de quádricas (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico) e faça um esboço representativo no espaço tridimensional. Justifique sua classificação com base na forma da equação.
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}-z^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a superfície
\frac{x^{2}}{4}-y^{2}-z^{2}=1
como um tipo de quádricas e esboçá-la. Aqui vamos usar o fato de que, na forma padrão
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
o número de coeficientes positivos e negativos determina se é elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, etc.

Passo 2

Comparemos com
\frac{x^{2}}{4} \;+\;\bigl(-1\bigr)\,y^{2}\;+\;\bigl(-1\bigr)\,z^{2}=1.
Aqui há exatamente um coeficiente positivo (para x^{2}) e dois coeficientes negativos (para y^{2} e z^{2}). Essa configuração de sinais caracteriza um hiperbolóide de duas folhas.

Passo 3

Para ver por que são duas folhas, note que a equação pode ser reescrita como
y^{2}+z^{2} \;=\;\frac{x^{2}}{4}-1.
Do lado direito exige-se \tfrac{x^{2}}{4}-1\ge0, ou seja
\frac{x^{2}}{4}\ge1 \quad\Longrightarrow\quad |x|\ge2.
Isso significa que não existem pontos com -2<x<2: a superfície se divide em duas partes desconectadas, uma para x\le -2 e outra para x\ge2.

Passo 4

Para esboçar, pegue fatias de x=\text{constante}:
  • Se x=\pm2, a seção é y^{2}+z^{2}=0, um ponto.
  • Se |x|>2, obtemos círculos de raio \sqrt{\tfrac{x^{2}}{4}-1} no plano yz.
    Assim cada “folha” nasce a partir de um ponto em x=\pm2 e vai abrindo como um copo de boca crescente conforme |x| aumenta, simetricamente em relação ao plano yz.

Resposta

A superfície \tfrac{x^{2}}{4}-y^{2}-z^{2}=1 é um hiperbolóide de duas folhas ao longo do eixo x.

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