Classifique cada uma das superfícies abaixo como um tipo de quádricas (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico) e faça um esboço representativo no espaço tridimensional. Justifique sua classificação com base na forma da equação.
.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a superfície dada por
como um tipo de quádricas (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico etc.) e fazer um esboço no espaço. Para isso vamos comparar a equação com as formas canônicas de quádricas.
Passo 2
Escrevemos a equação isolando
, de modo a identificar se há termo em
ou só termo linear em
:
Aqui não aparece
, apenas
de grau 1, e as variáveis
e
aparecem em termos quadráticos com coeficientes positivos.
Passo 3
Como só há quadrados em
e
(ambos com sinal positivo) e
está isolado de forma linear, isso coincide com a forma canônica de um parabolóide elíptico, cuja equação geral é
No nosso caso
e
.
Passo 4
Para reforçar essa classificação, examinamos as seções:
Para cada constante
, a seção horizontal é
que é uma elipse de semi-eixos
em
e
em
.
Na seção pelo plano
, temos
uma parábola no plano
. De modo análogo, em
surge a parábola
.
Passo 5
O esboço típico é uma “tigela” ou “lâmina” aberta para cima no eixo
, com curvas de nível elípticas que vão aumentando de tamanho à medida que
cresce.
(Desenhe uma superfície em forma de tigela abrindo para cima, com contornos elípticos.)]
Resposta
A superfície
é um parabolóide elíptico.