(2,50) Classifique cada uma das superfícies abaixo como um tipo de quádricas (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico) e faça um esboço representativo no espaço tridimensional. Justifique sua classificação com base na forma da equação.
\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=z.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a superfície dada por
\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = z
como um tipo de quádricas (elipsóide, hiperbolóide de uma ou duas folhas, parabolóide elíptico etc.) e fazer um esboço no espaço. Para isso vamos comparar a equação com as formas canônicas de quádricas.

Passo 2

Escrevemos a equação isolando z, de modo a identificar se há termo em z^{2} ou só termo linear em z:
z = \frac{x^{2}}{4} + y^{2}.
Aqui não aparece z^{2}, apenas z de grau 1, e as variáveis x e y aparecem em termos quadráticos com coeficientes positivos.

Passo 3

Como só há quadrados em x e y (ambos com sinal positivo) e z está isolado de forma linear, isso coincide com a forma canônica de um parabolóide elíptico, cuja equação geral é
z = \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}.
No nosso caso a^{2}=4 e b^{2}=1.

Passo 4

Para reforçar essa classificação, examinamos as seções: \bullet Para cada constante z=c>0, a seção horizontal é
\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = c,
que é uma elipse de semi-eixos 2\sqrt{c} em x e \sqrt{c} em y. \bullet Na seção pelo plano y=0, temos
z = \frac{x^{2}}{4},
uma parábola no plano x\!z. De modo análogo, em x=0 surge a parábola z = y^{2}.

Passo 5

O esboço típico é uma “tigela” ou “lâmina” aberta para cima no eixo z, com curvas de nível elípticas que vão aumentando de tamanho à medida que z cresce.
\begin{array}{c} \text{(eixo }x\text{ para a direita, }y\text{ para dentro, }z\text{ para cima)}\\[-0.5em] \includegraphics[width=0.3\textwidth]{esboco_paraboloide_eliptico.png} \end{array}
(Desenhe uma superfície em forma de tigela abrindo para cima, com contornos elípticos.)]

Resposta

A superfície \displaystyle \frac{x^{2}}{4}+y^{2}=z é um parabolóide elíptico.

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