(50) Um gerador de corrente alternada com \varepsilon_{\mathrm{m}} =220 \mathrm{~V} e f_{d}=400 \mathrm{~Hz} produz oscilações num circuito RLC série com R = 220 \Omega, L = 150 mH , C =24,0 \mu \mathrm{~F}. Determine (a) a reatância capacitiva X_{C}; (b) a impedância Z; (c) a amplitude I de corrente. Um segundo capacitor com a mesma capacitância é ligado em série com ou outros componentes. Determine o valor de (d) X_{C}, (e) Z. (f) I aumenta, diminui ou permanece o mesmo?

Passo 1

O enunciado descreve um circuito RLC série alimentado por tensão senoidal de amplitude \varepsilon_{m}=220 V e frequência f_{d}=400 Hz, com R=220\,\Omega, L=150 mH e C=24{,}0, \muF. Precisamos calcular a reatância capacitiva X_C, a impedância Z e a corrente máxima I; em seguida, repetir esses cálculos quando dois capacitores idênticos ficam em série, e ver como muda a corrente.

Passo 2

Calcular a frequência angular
\omega = 2\pi f_{d} = 2\pi \cdot 400 = 800\pi \approx 2513,27\\ \text{rad/s}.

Passo 3

Determinar a reatância capacitiva e indutiva
X_{C} = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{800\pi \,\cdot 24{,}0\times10^{-6}} \approx 16{,}6\\ \Omega,
X_{L} = \omega L = 800\pi \,\cdot 0{,}150 \approx 377{,}0\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a impedância do circuito RLC série
Z = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C})^{2}} = \sqrt{220^{2} + (377{,}0 - 16{,}6)^{2}} \approx 422{,}4\\ \Omega.

Passo 5

Encontrar a amplitude da corrente
I = \frac{\varepsilon_{m}}{Z} = \frac{220}{422{,}4} \approx 0{,}521\\ \mathrm{A}.

Passo 6

Ao ligar um segundo capacitor idêntico em série, a capacitância equivalente fica
C_{\text{eq}} = \frac{C}{2} = 12{,}0\\ \mu\mathrm{F},
logo a nova reatância capacitiva é
X_{C}' = \frac{1}{\omega\,C_{\text{eq}}} = \frac{1}{800\pi \,\cdot 12{,}0\times10^{-6}} \approx 33{,}2\\ \Omega.

Passo 7

Calcular a nova impedância
Z' = \sqrt{R^{2} + (X_{L} - X_{C}')^{2}} = \sqrt{220^{2} + (377{,}0 - 33{,}2)^{2}} \approx 408{,}2\\ \Omega.

Passo 8

Comparando as correntes, temos
I' = \frac{220}{408{,}2}\approx 0{,}539\\ \mathrm{A} > I\approx0{,}521\\ \mathrm{A},
logo a corrente aumenta.

Resposta

(a) X_{C}\approx16{,}6\\ \Omega
(b) Z\approx422{,}4\\ \Omega
(c) I\approx0{,}521\\ \mathrm{A}
(d) X_{C}'\approx33{,}2\\ \Omega
(e) Z'\approx408{,}2\\ \Omega
(f) A corrente aumenta.

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