Em 50 lances de uma moeda, foram obtidas 30 caras. Construir um intervalo de confiança de 95%, para a proporção p de ocorrências de caras.

Passo 1

O enunciado diz que lançamos uma moeda n=50 vezes e obtivemos x=30 caras. Queremos um intervalo de confiança de 95\% para a proporção verdadeira p de caras, usando a aproximação normal para proporções.

Passo 2

Calculamos a estimativa pontual
\hat p = \frac{x}{n} = \frac{30}{50} = 0,6
e verificamos as condições para usar a aproximação normal:
n\hat p = 50 \times 0,6 = 30 \ge 5,\quad n(1-\hat p) = 50 \times 0,4 = 20 \ge 5,
logo a normal é adequada.

Passo 3

O intervalo de confiança de nível 1-\alpha=0,95 para p é dado por
\hat p \pm z_{\alpha/2}\,\sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}},
onde z_{\alpha/2}=z_{0,025}=1,96. Calculamos o erro padrão
\text{EP} = \sqrt{\frac{0,6\times0,4}{50}} = \sqrt{0,0048}\approx0,0693
e a margem de erro
E = 1,96\times0,0693\approx0,136.

Passo 4

Os limites do intervalo são
\text{limite inferior} = 0,6 - 0,136 = 0,464,
\text{limite superior} = 0,6 + 0,136 = 0,736.
Interpretando, temos 95\% de confiança de que p está entre 0,464 e 0,736.

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para p é aproximadamente
[0,464;\;0,736].

Exercícios relacionados