Em quatro leituras experimentais de um comercial de 30 segundos, um locutor levou em média 29,2 segundos com uma \mathbf{S}^{\mathbf{2}}=\mathbf{5 , 7 6} segundos. Construir os limites de confiança para a média \mu, dado \alpha=10 \%.

Passo 1

O enunciado informa que fizemos n=4 leituras do tempo de um comercial de 30 s, obtendo média \bar{x}=29,2 s e variância amostral s^2=5{,}76 s ^2. Queremos um intervalo de confiança para a média verdadeira \mu com nível de confiança 1-\alpha=90\%. Como a amostra é pequena e a variância populacional é desconhecida, vamos usar o intervalo de confiança baseado na distribuição t.

Passo 2

Verificamos as condições para usar o t-intervalo:
  1. A amostra é pequena ( n<30).
  2. A variância populacional é desconhecida.
  3. Pressupomos que os tempos seguem distribuição aproximadamente normal.
    Logo, o intervalo é dado por
\bar{x} \pm t_{1-\frac{\alpha}{2},\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Calculamos o desvio-padrão amostral:
s = \sqrt{s^2} = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4\text{ s}.

Passo 4

O grau de liberdade é n-1=3 e \alpha/2=0{,}05. Pela tabela t, o valor crítico é
t_{1-0{,}05,\,3}=t_{0{,}95,\,3}\approx 2{,}353.

Passo 5

Calculamos o erro máximo E:
E = t_{0{,}95,3}\,\frac{s}{\sqrt{n}} =2{,}353\;\frac{2{,}4}{\sqrt{4}} =2{,}353\times1{,}2 \approx2{,}82\text{ s}.

Passo 6

O intervalo de confiança fica
29{,}2 \pm 2{,}82,
isto é,
(29{,}2 - 2{,}82,\;29{,}2 + 2{,}82) \approx(26{,}38,\;32{,}02)\text{ s}.

Resposta

O intervalo de confiança de 90 % para \mu é aproximadamente
(26{,}38\text{ s},\;32{,}02\text{ s}).

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