Dada a distribuição amostral
Classes 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30
F_{i} 3 5 8 3 2
Pede-se:
a) a média ponderada amostral da variável x .
b) a variância amostra S^{2} e o desvio amostral S da variável x.
c)Testar a hipótese de que a média populacional é 20 contra H1: \mu \neq 20, sendo \alpha=5 \%.

Passo 1

O enunciado nos dá uma distribuição de frequências agrupadas em classes de amplitude 5, com frequências F_i. Precisamos calcular a média amostral, a variância e o desvio padrão amostral usando os pontos médios das classes, e depois testar, via teste t bicaudal a 5\%, se a média populacional \mu pode ser 20.

Passo 2

Determinar os pontos médios x_i de cada classe e o total da amostra n:
As classes e frequências são
Classes: 5\!-\!10,\;10\!-\!15,\;15\!-\!20,\;20\!-\!25,\;25\!-\!30
Frequências: 3,\;5,\;8,\;3,\;2
Pontos médios:
x_1=7{,}5,\;x_2=12{,}5,\;x_3=17{,}5,\;x_4=22{,}5,\;x_5=27{,}5
Total da amostra:
n = \sum_i F_i = 3+5+8+3+2 = 21.

Passo 3

Calcular a média amostral \bar x como média ponderada:
\bar x = \frac{\sum_i F_i\,x_i}{n} = \frac{3\cdot7{,}5 + 5\cdot12{,}5 + 8\cdot17{,}5 + 3\cdot22{,}5 + 2\cdot27{,}5}{21} = \frac{347{,}5}{21} \approx 16{,}5476.

Passo 4

Calcular a soma dos quadrados \sum_i F_i\,x_i^2 e a variância amostral S^2:
\sum_i F_i\,x_i^2 =3\cdot7{,}5^2 +5\cdot12{,}5^2 +8\cdot17{,}5^2 +3\cdot22{,}5^2 +2\cdot27{,}5^2 =6431{,}25.
Em seguida,
S^2 =\frac{\sum_i F_i\,x_i^2 - n\,\bar x^{2}}{n-1} =\frac{6431{,}25 - 21\cdot(16{,}5476)^2}{20} \approx 34{,}05.

Passo 5

O desvio padrão amostral é
S = \sqrt{S^2} \approx \sqrt{34{,}05} \approx 5{,}84.

Passo 6

Formular o teste t para H_0:\mu=20 versus H_1:\mu\neq20 a \alpha=0,05. Estatística
t = \frac{\bar x - 20}{S/\sqrt{n}} = \frac{16{,}5476 - 20}{5{,}84/\sqrt{21}} \approx \frac{-3{,}4524}{5{,}84/4{,}583} \approx -2{,}71.
Graus de liberdade df = n-1 = 20. Valor crítico bicaudal t_{0{,}975,20}\approx2{,}086. Como
|t| = 2{,}71 > 2{,}086,
rejeitamos H_0.

Resposta

(a) \bar x \approx 16,5476
(b) S^2 \approx 34,05 e S \approx 5,84
(c) Como |t| > t_{0{,}975,20}, rejeita-se H_0 ao nível de 5\%; há evidência de que \mu \neq 20.

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