[50] Para pequenas variações de temperatura, o modelo para a dilatação de uma barra de metal homogênea submetida à mudanças de temperatura é L-L0=a L0(t-t0), onde L é o comprimento da barra quando a temperatura é t, L0 é o comprimento inicial da barra na temperatura t0 e a é uma constante que depende do tipo de metal.
a) Verifique se L é função linear de t.
b) Supondo que a barra, inicialmente mede 100 cm a uma temperatura de 60^0 C e que para o metal com que foi feita a=10^-5, esboce o gráfico que expresse o comprimento da barra em função da temperatura.

Passo 1

O enunciado nos dá o modelo de dilatação linear
L - L0 = a,L0,(t - t0),
onde t é a temperatura e L o comprimento resultante. O conteúdo aqui é reconhecimento de função do 1º grau e análise de coeficientes.

Passo 2

Reescrevendo a fórmula em função de t, temos
L = L0 + a,L0,(t - t0) = a,L0,t + l(L0 - a,L0,t0r)
Isso está na forma
L = m,t + b,
com m e b constantes, ou seja, é função linear de t.

Passo 3

Identificamos os coeficientes:
m = a,L0, b = L0 - a,L0,t0
Logo ,L(m,b) é reta de coeficiente angular m e intercepto b.

Passo 4

Substituindo L0=100,cm, t0=60^circC e a=10^-5, obtemos
m = 10^-5times 100 = 0,001, b = 100 - 0,001times 60 = 99,94
Portanto
L(t) = 0,001,t + 99,94(comprimento em cm, t em ^circC)

Passo 5

Para esboçar o gráfico de L versus t:
  • Eixo horizontal: temperatura t em ^circC.
  • Eixo vertical: comprimento L em cm.
  • A reta passa por (60,100) e tem inclinação 0,001, logo é uma subida muito suave. Por exemplo, em t=0 temos L=99,94,cm, em t=200,^circC, L=0,001cdot 200 + 99,94 = 100,14,cm. Basta traçar essa reta.

Resposta

a) Sim. A expressão
L = a,L0,t + l(L0 - a,L0,t0r)
é da forma L=m,t+b, ou seja, é função linear de t.
b)
L(t) = 0,001,t + 99,94,
reta de coeficiente angular 0,001 e intercepto 99,94, passando por (60,100).

Exercícios relacionados