Encontre as derivadas das funções vetoriais a seguir
F(t)=e^raizt i+3 j-arccos 2 t k

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
F(t)=e^raizt,i+3,j-arccos(2t),k
e pede F'(t). Vamos usar que a derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente, aplicando também a regra da cadeia quando necessário.

Passo 2

Derivada do primeiro componente e^raizt. Seja u(t)=raizt. Então
ddte^raizt =e^u(t)cdot u'(t) =e^raiztcdotddtl(t^1/2r) =e^raiztcdot12raizt =e^raizt2raizt

Passo 3

Derivada do segundo componente 3. Como é constante,
ddt3 = 0

Passo 4

Derivada do terceiro componente -arccos(2t). Seja v(t)=2t. Sabemos que
dduarccos(u)=-1raiz1-u^2,
logo, pela regra da cadeia,
ddtl[arccos(2t)r] =-v'(t)raiz1-[v(t)]^2 =-2raiz1-4t^2
Como o sinal na função é negativo, ao derivar -arccos(2t) ficamos com
-l(-2raiz1-4t^2r) =2raiz1-4t^2

Passo 5

Agora juntamos as derivadas de cada componente:
F'(t) =e^raizt2raizt,i +0,j +2raiz1-4t^2,k

Resposta

F'(t) =e^raizt2raizt,i +2raiz1-4t^2,k

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