Calcule as integrais usando integração por partes
integral0^1 / 2 x cos (pi x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral0^1/2 x cos(pi x),dx
usando o método de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x, dv = cos(pi x),dx
Dessa escolha segue
du = dx, v = integral cos(pi x),dx = 1pisin(pi x)

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes no intervalo de 0 a 1/2, obtemos
integral0^1/2 x cos(pi x),dx = [xpi,sin(pi x)]0^1/2 - integral0^1/21pi,sin(pi x),dx

Passo 4

Calculamos cada termo separadamente.
  1. O termo de contorno:
[xpisin(pi x)]0^1/2 = 1/2pisin!l(tfracpi2r) - 0 = 12pi
  1. O segundo integral:
integral0^1/21pisin(pi x),dx = 1piintegral0^1/2sin(pi x),dx
e
integral0^1/2sin(pi x),dx = [-1picos(pi x)]0^1/2 = 1pi
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integral0^1/21pisin(pi x),dx = 1picdot1pi = 1pi^2

Passo 5

Substituindo em
integral0^1/2 x cos(pi x),dx = 12pi - 1pi^2,
e colocando em uma fração única, temos
integral0^1/2 x cos(pi x),dx = pi - 22pi^2

Resposta

pi - 22pi^2

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