(50 Pontos)
Avalie se o conjunto de funções
, com
, e
é linearmente dependente ou independente. Se linearmente dependente, determine uma relação de dependência linear entre elas.
Avalie se o conjunto de funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de funções $ {f_1, f_2, f_3} $, com:
é linearmente dependente ou independente. Se for dependente, precisamos encontrar uma relação de dependência entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dependência linear de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de funções ser linearmente dependente ou independente. Um conjunto de funções é linearmente dependente se existe uma combinação linear delas que resulta na função zero, ou seja:
onde $ c_1, c_2, c_3 $ não são todos zero. Se a única solução for $ c_1 = c_2 = c_3 = 0 $, então as funções são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos montar a combinação linear e igualar a zero:
Vamos distribuir os coeficientes:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes (mesmo grau de $ t $):
Passo 4
Para que essa equação seja válida para todo $ t $, os coeficientes de cada potência de $ t $ devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema de equações. A primeira equação já nos dá uma relação entre $ c_2 $ e $ c_3 $:
Substituindo $ c_2 = -c_3 $ nas outras equações:
- Segunda equação:
- Terceira equação:
- Quarta equação:
Passo 6
Agora temos um sistema reduzido:
Observamos que a segunda equação é metade da primeira, e a terceira equação é 1,5 vezes a primeira. Isso indica que todas as equações são dependentes entre si, o que significa que temos infinitas soluções.
Vamos resolver a segunda equação para $ c_1 $:
Agora, podemos escolher um valor para $ c_3 $. Vamos escolher $ c_3 = 1 $ para simplificar:
Resposta
As funções $ f_1, f_2, f_3 $ são linearmente dependentes, e uma relação de dependência linear é: