(50 Pontos)
Avalie se o conjunto de funções f1, f2, f3, com f1(x)=3+t+2 t^2, f2(x)=t^3-6 t^2+3 t-10, e f1(x)=-4+5 t-2 t^2+t^3 é linearmente dependente ou independente. Se linearmente dependente, determine uma relação de dependência linear entre elas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se o conjunto de funções $ {f_1, f_2, f_3} $, com:
f1, f2, f3
é linearmente dependente ou independente. Se for dependente, precisamos encontrar uma relação de dependência entre elas. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre dependência linear de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de funções ser linearmente dependente ou independente. Um conjunto de funções é linearmente dependente se existe uma combinação linear delas que resulta na função zero, ou seja:
c1 f1(t) + c2 f2(t) + c3 f3(t) = 0 para todo t,
onde $ c_1, c_2, c_3 $ não são todos zero. Se a única solução for $ c_1 = c_2 = c_3 = 0 $, então as funções são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos montar a combinação linear e igualar a zero:
c1 (3 + t + 2t^2) + c2 (t^3 - 6t^2 + 3t - 10) + c3 (-4 + 5t - 2t^2 + t^3) = 0
Vamos distribuir os coeficientes:
3c1 + c1 t + 2c1 t^2 + c2 t^3 - 6c2 t^2 + 3c2 t - 10c2 - 4c3 + 5c3 t - 2c3 t^2 + c3 t^3 = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes (mesmo grau de $ t $):
t

Passo 4

Para que essa equação seja válida para todo $ t $, os coeficientes de cada potência de $ t $ devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
t

Passo 5

Vamos resolver esse sistema de equações. A primeira equação já nos dá uma relação entre $ c_2 $ e $ c_3 $:
c2
Substituindo $ c_2 = -c_3 $ nas outras equações:
  1. Segunda equação:
c3
  1. Terceira equação:
c2 = -c3
  1. Quarta equação:
c2 = -c3

Passo 6

Agora temos um sistema reduzido:
2c1 + 4c3 = 0, c1 + 2c3 = 0, 3c1 + 6c3 = 0
Observamos que a segunda equação é metade da primeira, e a terceira equação é 1,5 vezes a primeira. Isso indica que todas as equações são dependentes entre si, o que significa que temos infinitas soluções.
Vamos resolver a segunda equação para $ c_1 $:
c1
Agora, podemos escolher um valor para $ c_3 $. Vamos escolher $ c_3 = 1 $ para simplificar:
c1 = -2c3

Resposta

As funções $ f_1, f_2, f_3 $ são linearmente dependentes, e uma relação de dependência linear é:
f1, f2, f3

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