( 1.50 ptos) Utilize a Lei de Gauss e demonstre as equações utilizadas para calcular as capacitâncias dos seguintes dispositivos:
a) Capacitor plano de placas paralelas;
Obs: Todas as passagens e cálculos (integrais) utilizados nas demonstrações devem ser apresentados de forma organizada.
Espaço para resolução:
a) Capacitor plano de placas paralelas;
Obs: Todas as passagens e cálculos (integrais) utilizados nas demonstrações devem ser apresentados de forma organizada.
Espaço para resolução:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar a Lei de Gauss para derivar a equação que calcula a capacitância de um capacitor plano de placas paralelas. Para isso, vamos precisar conhecer a Lei de Gauss, conceitos de campo elétrico e capacitância, além de trabalhar com integrais para os cálculos.
Passo 2
A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante dielétrica do vácuo,
. A fórmula matemática é:
Passo 3
No caso de um capacitor de placas paralelas, temos duas placas planas e grandes, uma com carga
e a outra com carga
. O campo elétrico entre as placas será uniforme e perpendicular às placas.
Passo 4
Vamos escolher uma superfície gaussiana na forma de um cilindro que atravessa uma das placas e se estende entre as placas. Como o campo é uniforme e perpendicular, o fluxo elétrico através dessa superfície será:
onde
é o campo elétrico e
é a área da superfície da placa.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para
:
Passo 6
Agora, para encontrar a capacitância (
), usamos a definição:
onde
é a diferença de potencial entre as placas. Sabemos que
, sendo
a distância entre as placas.
Passo 7
Substituindo
na expressão de
:
Passo 8
Agora, substituímos
na definição de capacitância:
Resposta
A capacitância de um capacitor plano de placas paralelas é: