( 1.50 ptos) Utilize a Lei de Gauss e demonstre as equações utilizadas para calcular as capacitâncias dos seguintes dispositivos:
a) Capacitor plano de placas paralelas;
Obs: Todas as passagens e cálculos (integrais) utilizados nas demonstrações devem ser apresentados de forma organizada.
Espaço para resolução:

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos usar a Lei de Gauss para derivar a equação que calcula a capacitância de um capacitor plano de placas paralelas. Para isso, vamos precisar conhecer a Lei de Gauss, conceitos de campo elétrico e capacitância, além de trabalhar com integrais para os cálculos.

Passo 2

A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada é igual à carga total dentro dessa superfície dividida pela constante dielétrica do vácuo, varepsilon0. A fórmula matemática é:
PhiE = oint E cdot dA = Qintvarepsilon0

Passo 3

No caso de um capacitor de placas paralelas, temos duas placas planas e grandes, uma com carga +Q e a outra com carga -Q. O campo elétrico entre as placas será uniforme e perpendicular às placas.

Passo 4

Vamos escolher uma superfície gaussiana na forma de um cilindro que atravessa uma das placas e se estende entre as placas. Como o campo é uniforme e perpendicular, o fluxo elétrico através dessa superfície será:
PhiE = E cdot A
onde E é o campo elétrico e A é a área da superfície da placa.

Passo 5

Aplicando a Lei de Gauss:
E cdot A = Qvarepsilon0
Resolvendo para E:
E = Qvarepsilon0 A

Passo 6

Agora, para encontrar a capacitância ( C), usamos a definição:
C = QV
onde V é a diferença de potencial entre as placas. Sabemos que V = E cdot d, sendo d a distância entre as placas.

Passo 7

Substituindo E na expressão de V:
V = Qvarepsilon0 A cdot d

Passo 8

Agora, substituímos V na definição de capacitância:
C = QQ dvarepsilon0 A = varepsilon0 Ad

Resposta

A capacitância de um capacitor plano de placas paralelas é:
C = varepsilon0 Ad

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