( 1.50 ptos) Utilize a Lei de Gauss e demonstre as equações utilizadas para calcular as capacitâncias dos seguintes dispositivos:
c) Capacitor cilíndrico.
Obs: Todas as passagens e cálculos (integrais) utilizados nas demonstrações devem ser apresentados de forma organizada.
Espaço para resolução:
c) Capacitor cilíndrico.
Obs: Todas as passagens e cálculos (integrais) utilizados nas demonstrações devem ser apresentados de forma organizada.
Espaço para resolução:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para usar a Lei de Gauss para encontrar a capacitância de um capacitor cilíndrico. Isso está dentro da matéria de Eletrostática, mais especificamente sobre capacitores. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como aplicar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico entre os cilindros e, a partir daí, calcular a capacitância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga total interna dividida pela constante elétrica $ \epsilon_0 $. Matematicamente, isso é escrito como:
No caso do capacitor cilíndrico, temos dois cilindros concêntricos com raios diferentes. Vamos considerar um cilindro gaussiano co-central com os cilindros do capacitor.
Passo 3
Vamos definir o raio do cilindro interno como $ r_a $ e o do cilindro externo como $ r_b $. Suponha que o cilindro interno tem carga $ +Q $ e o externo tem carga $ -Q $. A simetria cilíndrica nos ajuda a simplificar o cálculo do campo elétrico.
Passo 4
Escolhemos nosso cilindro gaussiano com raio $ r $ tal que $ r_a < r < r_b $. Com essa escolha, toda a carga $ +Q $ do cilindro interno está dentro da nossa superfície gaussiana. Como o campo elétrico $ \mathbf{E} $ é radial e depende apenas da distância $ r $, o fluxo elétrico se torna:
onde $ L $ é o comprimento dos cilindros.
Passo 5
Aplicando a Lei de Gauss:
Resolvendo para $ E® $:
Esse é o campo elétrico entre os cilindros.
Passo 6
Agora, para encontrar a capacitância, precisamos relacionar a carga $ Q $ com a diferença de potencial $ V $ entre os cilindros. A diferença de potencial é a integral do campo elétrico de $ r_a $ a $ r_b $:
Integrando:
Passo 7
A capacitância $ C $ é definida como a relação entre a carga $ Q $ e a diferença de potencial $ V $:
Substituindo o $ V $ que encontramos:
Simplificando:
Resposta
A capacitância de um capacitor cilíndrico é dada por: