( 1.50 ptos) Utilize a Lei de Gauss e demonstre as equações utilizadas para calcular as capacitâncias dos seguintes dispositivos:
b) Capacitor esférico;
Obs: Todas as passagens e cálculos (integrais) utilizados nas demonstrações devem ser apresentados de forma organizada.
Espaço para resolução:
b) Capacitor esférico;
Obs: Todas as passagens e cálculos (integrais) utilizados nas demonstrações devem ser apresentados de forma organizada.
Espaço para resolução:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício sobre capacitância de um capacitor esférico usando a Lei de Gauss. A gente precisa entender como calcular a capacitância desse tipo de capacitor, que consiste em duas esferas concêntricas. Para isso, vamos usar conceitos de eletrostática, especificamente a Lei de Gauss, que nos ajuda a encontrar o campo elétrico ao redor das esferas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o capacitor esférico. Imagina duas esferas: uma menor com raio $ a $ e outra maior com raio $ b $, onde $ b > a $. A esfera interna tem carga $ +Q $ e a externa tem carga $ -Q $. Nosso objetivo é encontrar a capacitância $ C $ desse sistema.
Passo 3
Para encontrar o campo elétrico entre as esferas, usamos a Lei de Gauss. Ela diz que o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga dentro dessa superfície dividida por $ \varepsilon_0 $ (a permissividade do vácuo):
Passo 4
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio $ r $ onde $ a < r < b $. Devido à simetria esférica, o campo elétrico $ \vec{E} $ tem a mesma magnitude em todo o feixe e é radial. Assim, o fluxo elétrico fica:
Resolvendo para $ E $:
Passo 5
Agora, para achar a diferença de potencial $ V $ entre as duas esferas, integramos o campo elétrico de $ a $ até $ b $:
Calculando a integral:
Passo 6
Sabendo que a capacitância $ C $ é a carga $ Q $ dividida pela diferença de potencial $ V $:
Substituindo $ V $ pela expressão que encontramos:
Resposta
A capacitância do capacitor esférico é dada por: