50 (Questão 01) [4,0 pontos] Assinale F para as afirmaçōes FALSAS e V para afirmaçōes VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
(V) \vec{u} \cdot \vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}.
(F) (\vec{v}, \vec{w}) LI, então \operatorname{proj}_{\vec{w}} \vec{v}=\operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{w}.
(F) Se A, B e C são pontos não colineares, então \|\overrightarrow{A C}\|=\|\overrightarrow{A B}\|+\|\overrightarrow{B C}\|.
(V) (\vec{u}, \vec{v}) \mathrm{LD} \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \mathrm{LD}.
(F) \vec{u} \cdot \vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{u} / / \vec{v}.
(F) Seja (\vec{u}, \vec{v}) LI e \vec{w} \neq \overrightarrow{0}, então, \vec{w}=\operatorname{proj}_{\vec{u}} \vec{w}+\operatorname{proj}_{\vec{v}} \vec{w}. Para quaisquer vetores \vec{u}, \vec{v}, \|\vec{u}+\vec{v}\| \leq\|\vec{u}\|+\|\vec{v}\|.
Passo 1
O enunciado pede para marcar V ou F em seis afirmações de álgebra vetorial, envolvendo produto interno, independência linear, projeções, distâncias e decomposição vetorial. Vamos conferir cada uma usando definições de produto interno, projeção, LI/LD e desigualdade triangular.
Passo 2
Afirmação 1: “\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^{2}”.
Pelo produto interno temos \vec{u}\cdot\vec{u}=\sum u_i^2, que é justamente \|\vec{u}\|^2.
Logo é verdadeira.
Passo 3
Afirmação 2: “Se (\vec{v},\vec{w}) é LI então \mathrm{proj}_{\vec{w}}\vec{v}=\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w}”.
A projeção de \vec{v} sobre \vec{w} não coincide em geral com a de \vec{w} sobre \vec{v}. Basta escolher vetores distintos não ortogonais para contradizer.
Logo é falsa.
Passo 4
Afirmação 3: “Se A,B,C não são colineares, então \|\overrightarrow{AC}\|=\|\overrightarrow{AB}\|+\|\overrightarrow{BC}\|”.
Quando A,B,C formam um triângulo não degenerado, \|\overrightarrow{AC}\|<\|\overrightarrow{AB}\|+\|\overrightarrow{BC}\| (desigualdade triangular estrita).
Logo é falsa.
Passo 5
Afirmação 4: “(\vec{u},\vec{v}) LD \Rightarrow(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) LD”.
Uma set de vetores que já é linearmente dependente continua dependente ao adicionar mais vetores.
Logo é verdadeira.
Passo 6
Afirmação 5: “\vec{u}\cdot\vec{v}=0\Leftrightarrow\vec{u}\mathbin{\|}\vec{v}”.
Produto interno zero significa ortogonalidade, não paralelismo. Paralelos têm ângulo 0 ou \pi, não \pi/2.
Logo é falsa.
Passo 7
Afirmação 6: “Se (\vec{u},\vec{v}) é LI e \vec{w}\neq\vec{0}, então \vec{w}=\mathrm{proj}_{\vec{u}}\vec{w}+\mathrm{proj}_{\vec{v}}\vec{w}”.
Essa decomposição vale apenas se \vec{u},\vec{v} formarem uma base ortogonal. LI por si só não garante soma das projeções seja \vec w.
Logo é falsa.