Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
(b) \int_{0}^{1} \int_{y}^{1} e^{y / x} d x d y.

Passo 1

O enunciado nos dá a integral dupla
I = \int_{0}^{1}\!\int_{y}^{1} e^{y/x}\,dx\,dy
e pede para esboçar a região de integração no plano xy e trocar a ordem de integração.
O conteúdo envolve identificação da região em que (x,y) varia e aplicação do Teorema de Fubini para reescrever os limites.

Passo 2

Vamos descrever e “esboçar” mentalmente a região R:
– A condição 0 \le y \le 1 vem do limite externo em y.
– Para cada y, o x varia de y até 1.
Ou seja,
R = \{(x,y)\mid 0 \le y \le x \le 1\}.
No plano xy, isso é o triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (1,1), abaixo da reta y = x.

Passo 3

Para inverter a ordem, devemos escolher como variável externa x e interna y.
Observando R, o menor x em toda a região é 0 e o maior é 1.
Para um dado x em [0,1], o y varia de 0 (eixo x) até a reta y=x.
Logo os novos limites são
0 \le x \le 1, \qquad 0 \le y \le x.

Passo 4

Substituindo esses limites na integral, obtemos
I = \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{x} e^{y/x}\,dy\,dx.

Resposta

\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{x} e^{y/x}\,dy\,dx

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