Esboce a região de integração e mude a ordem de integração:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado nos dá a integral dupla
e pede para esboçar a região de integração no plano
e trocar a ordem de integração.
O conteúdo envolve identificação da região em que varia e aplicação do Teorema de Fubini para reescrever os limites.
O conteúdo envolve identificação da região em que
Passo 2
Vamos descrever e “esboçar” mentalmente a região
:
– A condição vem do limite externo em
.
– Para cada , o
varia de
até
.
Ou seja,
– A condição
– Para cada
Ou seja,
No plano
, isso é o triângulo com vértices em
,
e
, abaixo da reta
.
Passo 3
Para inverter a ordem, devemos escolher como variável externa
e interna
.
Observando , o menor
em toda a região é
e o maior é
.
Para um dado em
, o
varia de
(eixo
) até a reta
.
Logo os novos limites são
Observando
Para um dado
Logo os novos limites são
Passo 4
Substituindo esses limites na integral, obtemos