Calcule as seguintes integrais:
(a) \int_{2}^{4} \int_{-1}^{1}\left(x^{2}+y^{2}\right) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{2}^{4}\int_{-1}^{1}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo é integração iterada num retângulo, então primeiro integramos em y (com x fixo) e depois em x.

Passo 2

Calculemos a integral interna em y:
\int_{-1}^{1}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dy = x^{2}\int_{-1}^{1}dy \;+\;\int_{-1}^{1}y^{2}\,dy = x^{2}\bigl[\,y\bigr]_{-1}^{1} \;+\;\bigl[\tfrac{y^{3}}{3}\bigr]_{-1}^{1} = 2x^{2} \;+\;\Bigl(\tfrac{1}{3}-\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)\Bigr) = 2x^{2}+\tfrac{2}{3}.

Passo 3

Agora integramos o resultado em x:
\int_{2}^{4}\Bigl(2x^{2}+\tfrac{2}{3}\Bigr)\,dx = 2\int_{2}^{4}x^{2}\,dx \;+\;\tfrac{2}{3}\int_{2}^{4}1\,dx.
Calculando cada parte:
2\int_{2}^{4}x^{2}\,dx =2\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{2}^{4} =2\cdot\tfrac{64-8}{3} =\tfrac{112}{3},
\tfrac{2}{3}\int_{2}^{4}1\,dx =\tfrac{2}{3}\bigl[\,x\bigr]_{2}^{4} =\tfrac{2}{3}\cdot2 =\tfrac{4}{3}.
Somando as duas parcelas:
\tfrac{112}{3}+\tfrac{4}{3}=\tfrac{116}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{116}{3}

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