Um fluido escoa paralelamente ( U_{\infty}=15 \mathrm{~m} / \mathrm{se} T_{\infty}=15^{\circ} \mathrm{C} ) à superfície plana de um aquecedor que deve ser mantida a uma temperatura de 140^{\circ} \mathrm{C}. A área da superfície do aquecedor é de 0,25 \mathrm{~m}^{2} e sabe-se que o escoamento produz uma força de arrasto sobre o aquecedor de 0,25 \mathrm{~N}. Qual é a potência elétrica necessária para manter a temperatura superficial especificada? Considere: \rho= 0,995 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ; \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=1009 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K} ; \mathrm{v}=20,92 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ; \mathrm{Pr}=0,70 ; \mathrm{k}_{\text {fluido }}=30 \times 10^{-3} \mathrm{~W} / \mathrm{m} . \mathrm{K} . \mathbf{R}: \mathbf{2 , 6 7 ~ k W}

Passo 1

O enunciado trata de convecção forçada num fluido que escoa sobre uma placa plana aquecida.
Precisamos estimar a potência elétrica Q para manter a placa a T_{s}=140{}^\circ\mathrm{C} quando o fluido à jusante está a T_{\infty}=15{}^\circ\mathrm{C} e tem velocidade U_{\infty}=15\\ \mathrm{m/s}.
Usaremos os seguintes conceitos:
  1. O coeficiente de atrito médio na placa C_{f,\mathrm{méd}}é obtido da força de arrasto F_{D}.
  2. A analogia de Chilton–Colburn para ligar C_{f} à estância de calor St.
  3. A relação h = St\,\rho\,U_{\infty}\,c_{p} para achar o coeficiente de transferência de calor h.
  4. Finalmente, Q = h\,A\,(T_{s}-T_{\infty}).

Passo 2

Calcular o coeficiente de atrito médio C_{f,\mathrm{méd}}é.
A definição de C_{f} médio é
C_{f,\mathrm{méd}} = \frac{\tau_{w}}{\tfrac12\,\rho\,U_{\infty}^{2}}é
e a tensão de cisalhamento média \tau_{w} satisfaz \tau_{w} = F_{D}/A. Assim
C_{f,\mathrm{méd}} = \frac{F_{D}/A}{\tfrac12\,\rho\,U_{\infty}^{2}} = \frac{2\,F_{D}}{\rho\,U_{\infty}^{2}\,A}é
Substituindo F_{D}=0{,}25\\ \mathrm{N}, \rho=0{,}995\\ \mathrm{kg/m^{3}}, U_{\infty}=15\\ \mathrm{m/s} e A=0{,}25\\ \mathrm{m^{2}}, obtemos
C_{f,\mathrm{méd}} = \frac{2\times0{,}25}{0{,}995\times15^{2}\times0{,}25} \approx 0{,}00894.é

Passo 3

Usar a analogia de Chilton–Colburn para calor, que diz
j_{H} = St\,Pr^{2/3} = \frac{C_{f}}{2}.
Dessa forma
St = \frac{C_{f,\mathrm{méd}}}{2}\;Pr^{-2/3}.é
Como Pr=0,70, temos
Pr^{-2/3} = 0,70^{-2/3}\approx1{,}27 \quad\Longrightarrow\quad St \approx \frac{0{,}00894}{2}\times1{,}27 = 0{,}00568.
O coeficiente de transferência de calor é
h = St\,\rho\,U_{\infty}\,c_{p} = 0{,}00568 \times 0{,}995 \times 15 \times 1009 \approx 85{,}5\\ \mathrm{W/(m^{2}K)}.

Passo 4

Calcular a taxa de calor por convecção e igualá-la à potência elétrica:
Q = h\,A\,(T_{s}-T_{\infty}) = 85{,}5 \times 0{,}25 \times (140 - 15) = 85{,}5 \times 0{,}25 \times 125 \approx 2{,}67\times10^{3}\\ \mathrm{W}.

Resposta

A potência elétrica necessária é aproximadamente 2{,}67\\ \mathrm{kW}.

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