3.50 Suponha que X e Y tenham a seguinte distribuição de probabilidade conjunta:
x=2 x=4
y=3 0,10 0,15
y=5 0,20 0,30
y=6 0,10 0,15
(a) Determine a distribuição marginal de X.
(b) Determine a distribuição marginal de Y.

Passo 1

O enunciado dá a distribuição conjunta de probabilidade de X e Y na forma de tabela. Vou listar explicitamente os valores que temos (peguei estes valores do enunciado):
  • p_{X,Y}(x=2,y=3)=0,10
  • p_{X,Y}(x=4,y=3)=0,15
  • p_{X,Y}(x=2,y=5)=0,20
  • p_{X,Y}(x=4,y=5)=0,30
  • p_{X,Y}(x=2,y=6)=0,10
  • p_{X,Y}(x=4,y=6)=0,15
O enunciado pede:
(a) Determinar a distribuição marginal de X.
(b) Determinar a distribuição marginal de Y.

Passo 2

Definição e ideia prática para calcular a marginal de X.
A distribuição marginal de X é obtida somando as probabilidades conjuntas sobre todos os valores possíveis de Y. Em fórmula:
p_X(x)=\sum_{y} p_{X,Y}(x,y).
Aqui p_X(x) é a probabilidade de X assumir o valor x; a soma vai sobre todos os y possíveis. Na prática, soma-se cada coluna da tabela (cada x).

Passo 3

Cálculo de p_X(2).
Somando as probabilidades com x=2 (peguei os números da tabela):
p_X(2)=p_{X,Y}(2,3)+p_{X,Y}(2,5)+p_{X,Y}(2,6)=0,10+0,20+0,10.
Agora somando:
p_X(2)=0,10+0,20+0,10=0,40.

Passo 4

Cálculo de p_X(4).
Somando as probabilidades com x=4 (peguei os números da tabela):
p_X(4)=p_{X,Y}(4,3)+p_{X,Y}(4,5)+p_{X,Y}(4,6)=0,15+0,30+0,15.
Agora somando:
p_X(4)=0,15+0,30+0,15=0,60.

Passo 5

Verificação rápida (sanity check) da distribuição marginal de X.
As probabilidades marginais devem somar 1. Verifico:
p_X(2)+p_X(4)=0,40+0,60=1,00.
Está consistente.

Passo 6

Definição e ideia prática para calcular a marginal de Y.
A distribuição marginal de Y é obtida somando as probabilidades conjuntas sobre todos os valores possíveis de X. Em fórmula:
p_Y(y)=\sum_{x} p_{X,Y}(x,y).
Na prática, soma-se cada linha da tabela (cada y).

Passo 7

Cálculo de p_Y(3), p_Y(5) e p_Y(6).
Para y=3 (peguei os números da tabela):
p_Y(3)=p_{X,Y}(2,3)+p_{X,Y}(4,3)=0,10+0,15=0,25.
Para y=5 (peguei os números da tabela):
p_Y(5)=p_{X,Y}(2,5)+p_{X,Y}(4,5)=0,20+0,30=0,50.
Para y=6 (peguei os números da tabela):
p_Y(6)=p_{X,Y}(2,6)+p_{X,Y}(4,6)=0,10+0,15=0,25.

Passo 8

Verificação rápida da distribuição marginal de Y.
As probabilidades marginais de Y devem somar 1. Verifico:
p_Y(3)+p_Y(5)+p_Y(6)=0,25+0,50+0,25=1,00.
Tudo consistente.

Resposta

Distribuição marginal de X: p_X(2)=0,40,\; p_X(4)=0,60
Distribuição marginal de Y: p_Y(3)=0,25,\; p_Y(5)=0,50,\; p_Y(6)=0,25

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