Observe a informação do fluxo de caixa a seguir e calcule os valores dos resgastes ®, sabendo-se que eles são iguais e que a taxa de juros i é igual a 5% a.a.
Considere uma renda uniforme do ano 1 ao ano 20 e três prestações (ou resgates) iguais do ano 21 ao 23.
Período do Fluxo de Caixa Descrição
Ano 01 ao Ano 20 Recebimentos de (
) 10.000,00$
Ano 21 ao Ano 23 Pagamentos de uma quantia X
VF no final de 20 anos = R$ 330.659,54
Valor dos resgates do ano 21 ao 23= R$ 121.421,02

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (tudo que preciso usar):
  • Recebimentos (anuidade) de \text{R\$}10.000{,}00 no final de cada ano de 1 até 20 (ou seja, 20 pagamentos de A= \text{R\$ }10.000{,}00).
  • Três pagamentos iguais (resgates) R ocorrendo no final dos anos 21, 22 e 23.
  • Taxa de juros nominal anual i=5\% a.a. (ou seja, i=0{,}05).
  • Objetivo: calcular o valor de cada resgate R (são iguais entre si).
    Observação: a ideia é transformar tudo para o mesmo instante de tempo (o final do ano 20) e igualar os montantes para descobrir R.

Passo 2

Entender como transformar os fluxos para o mesmo instante: vou calcular o valor futuro (montante) no final do ano 20 da anuidade de \text{R\$ }10.000 (recebimentos dos anos 1 a 20). Em seguida calculo o valor, no mesmo instante (final do ano 20), dos três resgates futuros R (anos 21–23). Igualando esses valores encontro R.
Primeiro, defino as variáveis e a fórmula que vou usar:
  • A é o valor da anuidade anual ( A=\text{R\$ }10.000).
  • n é o número de parcelas da anuidade ( n=20).
  • i é a taxa por período ( i=0{,}05).
  • O valor futuro (montante) no final do período n de uma anuidade ordinária é dado por
FV = A\cdot\frac{(1+i)^{n}-1}{i}.
Explicando a fórmula (rápido e didático): os n recebimentos A aplicados até o tempo n crescem com potências de (1+i). Somando a progressão geométrica e fatorando chega-se à expressão acima. Cada variável significa:
  • FV: montante acumulado no tempo n.
  • A: pagamento periódico.
  • i: taxa por período.
  • n: número de períodos.

Passo 3

Calcular o FV no final do ano 20 da renda de A=\text{R\$ }10.000:
Calculo primeiro (1+i)^{20} com i=0{,}05:
(1{,}05)^{20}\approx 2{,}653297705144422.
Agora aplico na fórmula do montante:
FV = 10\,000\cdot\frac{(1{,}05)^{20}-1}{0{,}05} =10\,000\cdot\frac{2{,}653297705144422 - 1}{0{,}05}.
Calculo o fator:
\frac{2{,}653297705144422 - 1}{0{,}05}=\frac{1{,}653297705144422}{0{,}05}=33{,}06595410288844.
Portanto
FV = 10\,000 \times 33{,}06595410288844 \approx \text{R\$ }330\,659{,}54.
(Isto mostra que o montante acumulado ao final do ano 20 é aproximadamente \text{R\$ }330.659{,}54.)

Passo 4

Agora calculo o valor, no final do ano 20, dos três resgates iguais R que ocorrem nos anos 21, 22 e 23. Esse é o valor presente (no instante 20) de uma anuidade imediata de n=3 pagamentos de R. A fórmula do valor presente (no início da série, aqui no final do ano 20) de uma anuidade ordinária de n parcelas é
PV = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
No nosso caso n=3, então
PV_{20} = R\cdot\frac{1-(1+i)^{-3}}{i}.
Explicando: cada pagamento R em 21,22,23 é descontado para o tempo 20; somando os três termos forma uma série geométrica cuja soma dá a expressão acima.

Passo 5

Substituo i=0{,}05 e n=3 no fator:
(1{,}05)^{3}=1{,}157625, \qquad (1{,}05)^{-3}=\frac{1}{1{,}157625}\approx 0{,}863837598531476.
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\frac{1-(1{,}05)^{-3}}{0{,}05}=\frac{1-0{,}863837598531476}{0{,}05} =\frac{0{,}136162401468524}{0{,}05}\approx 2{,}72324802937048.
Portanto o valor, no final do ano 20, dos três resgates é
PV_{20}=R\cdot 2{,}72324802937048.

Passo 6

Igualo o montante acumulado dos recebimentos (passo 3) ao valor, no tempo 20, dos resgates (passo 5), porque o que foi acumulado nos 20 anos servirá para pagar os resgates:
330\,659{,}5410288844 = R\cdot 2{,}72324802937048.
Isolando R:
R=\frac{330\,659{,}5410288844}{2{,}72324802937048}\approx 121\,421{,}02.
Arredondando para centavos, cada resgate vale \text{R\$ }121.421{,}02.
Força — você já tem o passo a passo que funciona numa prova: calcular o montante da anuidade, calcular o valor no mesmo instante dos pagamentos futuros, e igualar para achar a parcela desconhecida.

Resposta

R=\text{R\$ }121.421{,}02

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