Observe a informação do fluxo de caixa a seguir e calcule os valores dos resgastes ®, sabendo-se que eles são iguais e que a taxa de juros i é igual a 5% a.a.
Considere uma renda uniforme do ano 1 ao ano 20 e três prestações (ou resgates) iguais do ano 21 ao 23.
Período do Fluxo de Caixa
Descrição
Ano 01 ao Ano 20
Recebimentos de (
) 10.000,00$
Ano 21 ao Ano 23
Pagamentos de uma quantia X
VF no final de 20 anos
R$ 330.659,54
Valor dos resgates do ano 21 ao
R$ 121.421,02
Considere uma renda uniforme do ano 1 ao ano 20 e três prestações (ou resgates) iguais do ano 21 ao 23.
| Período do Fluxo de Caixa | Descrição |
| Ano 01 ao Ano 20 | Recebimentos de ( |
| ) 10.000,00$ | |
| Ano 21 ao Ano 23 | Pagamentos de uma quantia X |
Valor dos resgates do ano 21 ao
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (tudo que preciso usar):
- Recebimentos (anuidade) de
no final de cada ano de 1 até 20 (ou seja, 20 pagamentos de ). - Três pagamentos iguais (resgates)
ocorrendo no final dos anos 21, 22 e 23. - Taxa de juros nominal anual
a.a. (ou seja, ). - Objetivo: calcular o valor de cada resgate
(são iguais entre si).
Observação: a ideia é transformar tudo para o mesmo instante de tempo (o final do ano 20) e igualar os montantes para descobrir.
Passo 2
Entender como transformar os fluxos para o mesmo instante: vou calcular o valor futuro (montante) no final do ano 20 da anuidade de
(recebimentos dos anos 1 a 20). Em seguida calculo o valor, no mesmo instante (final do ano 20), dos três resgates futuros
(anos 21–23). Igualando esses valores encontro
.
Primeiro, defino as variáveis e a fórmula que vou usar:
-
é o valor da anuidade anual ( ). -
é o número de parcelas da anuidade ( ). -
é a taxa por período ( ). - O valor futuro (montante) no final do período
de uma anuidade ordinária é dado por
Explicando a fórmula (rápido e didático): os
recebimentos
aplicados até o tempo
crescem com potências de
. Somando a progressão geométrica e fatorando chega-se à expressão acima. Cada variável significa:
-
: montante acumulado no tempo . -
: pagamento periódico. -
: taxa por período. -
: número de períodos.
Passo 3
Calcular o
no final do ano 20 da renda de
:
Calculo primeiro com
:
Calculo primeiro
Agora aplico na fórmula do montante:
Calculo o fator:
Portanto
(Isto mostra que o montante acumulado ao final do ano 20 é aproximadamente
.)
Passo 4
Agora calculo o valor, no final do ano 20, dos três resgates iguais
que ocorrem nos anos 21, 22 e 23. Esse é o valor presente (no instante 20) de uma anuidade imediata de
pagamentos de
. A fórmula do valor presente (no início da série, aqui no final do ano 20) de uma anuidade ordinária de
parcelas é
No nosso caso
, então
Explicando: cada pagamento
em 21,22,23 é descontado para o tempo 20; somando os três termos forma uma série geométrica cuja soma dá a expressão acima.
Passo 5
Substituo
e
no fator:
Logo
Portanto o valor, no final do ano 20, dos três resgates é
Passo 6
Igualo o montante acumulado dos recebimentos (passo 3) ao valor, no tempo 20, dos resgates (passo 5), porque o que foi acumulado nos 20 anos servirá para pagar os resgates:
Isolando
:
Arredondando para centavos, cada resgate vale
.
Força — você já tem o passo a passo que funciona numa prova: calcular o montante da anuidade, calcular o valor no mesmo instante dos pagamentos futuros, e igualar para achar a parcela desconhecida.