A proporção de pessoas que respondem a certa solicitação de vendas por catálogo é a variável aleatória contínua X\), que tem como função de densidade
\[f(x)= \begin{cases}\frac{2(x+2)}{5}, & 0<x<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
Mostre que (P(0<X<1)=1].
Passo 1
O enunciado dá a função de densidade da variável aleatória contínua X\):
\[f(x)= \begin{cases}\dfrac{2(x+2)}{5}, & 0<x<1,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
A pergunta é: mostrar que (,P(0<X<1)=1].]
Passo 2
Lembrete rápido (conceito importante): para que f seja função de densidade válida ela precisa satisfazer duas condições:
Vamos verificar essas duas condições para a f dada.
Passo 3
Verificação de não-negatividade: para 0<x<1 temos x+2>0, logo \dfrac{2(x+2)}{5}>0. Fora do intervalo (0,1) a densidade vale 0. Portanto \,f(x)\ge 0 para todo x.
Passo 4
Agora verificamos a integral total. Como f(x)=0 fora de (0,1), temos
Como \,f\ge 0 e \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1, f é de fato uma densidade válida. Para variáveis contínuas, a probabilidade de um ponto isolado é zero, então a probabilidade de que X caia no suporte (0,1) é exatamente a integral sobre esse intervalo, que acabamos de calcular como 1. Logo \,P(0<X<1)=1.