A proporção de pessoas que respondem a certa solicitação de vendas por catálogo é a variável aleatória contínua X\), que tem como função de densidade \[f(x)= \begin{cases}\frac{2(x+2)}{5}, & 0<x<1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
Mostre que (P(0<X<1)=1].

Passo 1

O enunciado dá a função de densidade da variável aleatória contínua X\): \[f(x)= \begin{cases}\dfrac{2(x+2)}{5}, & 0<x<1,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.}\end{cases}
A pergunta é: mostrar que (,P(0<X<1)=1].]

Passo 2

Lembrete rápido (conceito importante): para que f seja função de densidade válida ela precisa satisfazer duas condições:
  1. \,f(x)\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.
  2. \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Vamos verificar essas duas condições para a f dada.

Passo 3

Verificação de não-negatividade: para 0<x<1 temos x+2>0, logo \dfrac{2(x+2)}{5}>0. Fora do intervalo (0,1) a densidade vale 0. Portanto \,f(x)\ge 0 para todo x.

Passo 4

Agora verificamos a integral total. Como f(x)=0 fora de (0,1), temos
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = \int_{0}^{1} \frac{2(x+2)}{5}\,dx.

Passo 5

Calculando a integral passo a passo. Primeiro separe os termos:
\int_{0}^{1} \frac{2(x+2)}{5}\,dx = \int_{0}^{1} \left(\frac{2x}{5}+\frac{4}{5}\right)dx.
Integramos cada parcela:
\int_{0}^{1} \frac{2x}{5}\,dx = \frac{2}{5}\cdot\frac{x^{2}}{2}\Bigg|_{0}^{1}=\frac{1}{5},
\int_{0}^{1} \frac{4}{5}\,dx = \frac{4}{5}\,x\Big|_{0}^{1}=\frac{4}{5}.
Somando:
\int_{0}^{1} \frac{2(x+2)}{5}\,dx = \frac{1}{5}+\frac{4}{5}=1.

Passo 6

Como \,f\ge 0 e \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx=1, f é de fato uma densidade válida. Para variáveis contínuas, a probabilidade de um ponto isolado é zero, então a probabilidade de que X caia no suporte (0,1) é exatamente a integral sobre esse intervalo, que acabamos de calcular como 1. Logo \,P(0<X<1)=1.

Resposta

P(0<X<1)=1

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