A distribuição abaixo apresenta os tempos, em segundos, que 75 computadores aleatoriamente escolhidos por um engenheiro de computação gastaram para executar determinada tarefa:
89 93 96 98 98 101 102 102 104 105 106 108 109 109 110 110 110 111 111
112 112 113 113 114 114 114 114 114 114 114 115 115 115 116 116 116 116 116
116 116 117 117 117 118 118 118 119 119 119 119 119 119 119 120 120 120 121
121 121 122 122 123 123 124 125 125 126 127 127 127 128 128 129 131 133
Com base nesses dados, pede-se:
Média aritmética desses tempos

Passo 1

O enunciado pede a média aritmética dos tempos (em segundos) observados nos 75 computadores. Peguei os dados da tabela fornecida; os tempos observados são:
89,\;93,\;96,\;98,\;98,\;101,\;102,\;102,\;104,\;105,\;106,\;108,\;109,\;109,\;110,\;110,\;110,\;111,\;111,
112,\;112,\;113,\;113,\;114,\;114,\;114,\;114,\;114,\;114,\;114,\;115,\;115,\;115,\;116,\;116,\;116,\;116,\;116,
116,\;116,\;117,\;117,\;117,\;118,\;118,\;118,\;119,\;119,\;119,\;119,\;119,\;119,\;119,\;120,\;120,\;120,\;121,
121,\;121,\;122,\;122,\;123,\;123,\;124,\;125,\;125,\;126,\;127,\;127,\;127,\;128,\;128,\;129,\;131,\;133
As observado, há 75 valores no conjunto de dados. A pergunta é: calcular a média aritmética desses 75 tempos.

Passo 2

Definição e fórmula da média aritmética. A média aritmética de um conjunto de n observações x_1,x_2,\dots,x_n é dada por
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui:
  • \bar{x} é a média aritmética (o que queremos).
  • n é o número de observações; no problema n=75.
  • x_i são os tempos observados (cada tempo em segundos).
    Interpretação prática: somar todos os tempos e dividir pelo número de computadores.

Passo 3

Estratégia prática para somar sem erro. Como há muitos valores repetidos, é muito mais eficiente montar uma tabela de frequências (valor \times quantidade) e somar os produtos valor vezes frequência. Isso reduz trabalho e erros de soma manual. Vou listar cada valor distinto x e sua frequência f (peguei esses valores e frequências a partir da tabela de dados).
Frequências (valor : frequência):
\begin{array}{l} 89:1,\;93:1,\;96:1,\;98:2,\;101:1,\;102:2,\;104:1,\;105:1,\\\\ 106:1,\;108:1,\;109:2,\;110:3,\;111:2,\;112:2,\;113:2,\;114:7,\\\\ 115:3,\;116:7,\;117:3,\;118:3,\;119:7,\;120:3,\;121:3,\\\\ 122:2,\;123:2,\;124:1,\;125:2,\;126:1,\;127:3,\;128:2,\\\\ 129:1,\;131:1,\;133:1 \end{array}
Verificação rápida: a soma das frequências dá 75, ou seja,
1+1+1+2+1+2+1+1+1+1+2+3+2+2+2+7+3+7+3+3+7+3+3+2+2+1+2+1+3+2+1+1+1=75.

Passo 4

Calcular a soma total usando \sum x_i = \sum (x\cdot f). Vou calcular cada contribuição x\cdot f e ir acumulando a soma total:
\begin{aligned} 89\cdot1&=89 &\Rightarrow&\\ \text{soma parcial}=89,\\\\ 93\cdot1&=93 &\Rightarrow&\\\ 182,\\\\ 96\cdot1&=96 &\Rightarrow&\\\ 278,\\\\ 98\cdot2&=196 &\Rightarrow&\\\ 474,\\\\ 101\cdot1&=101 &\Rightarrow&\\\ 575,\\\\ 102\cdot2&=204 &\Rightarrow&\\\ 779,\\\\ 104\cdot1&=104 &\Rightarrow&\\\ 883,\\\\ 105\cdot1&=105 &\Rightarrow&\\\ 988,\\\\ 106\cdot1&=106 &\Rightarrow&\\\ 1094,\\\\ 108\cdot1&=108 &\Rightarrow&\\\ 1202,\\\\ 109\cdot2&=218 &\Rightarrow&\\\ 1420,\\\\ 110\cdot3&=330 &\Rightarrow&\\\ 1750,\\\\ 111\cdot2&=222 &\Rightarrow&\\\ 1972,\\\\ 112\cdot2&=224 &\Rightarrow&\\\ 2196,\\\\ 113\cdot2&=226 &\Rightarrow&\\\ 2422,\\\\ 114\cdot7&=798 &\Rightarrow&\\\ 3220,\\\\ 115\cdot3&=345 &\Rightarrow&\\\ 3565,\\\\ 116\cdot7&=812 &\Rightarrow&\\\ 4377,\\\\ 117\cdot3&=351 &\Rightarrow&\\\ 4728,\\\\ 118\cdot3&=354 &\Rightarrow&\\\ 5082,\\\\ 119\cdot7&=833 &\Rightarrow&\\\ 5915,\\\\ 120\cdot3&=360 &\Rightarrow&\\\ 6275,\\\\ 121\cdot3&=363 &\Rightarrow&\\\ 6638,\\\\ 122\cdot2&=244 &\Rightarrow&\\\ 6882,\\\\ 123\cdot2&=246 &\Rightarrow&\\\ 7128,\\\\ 124\cdot1&=124 &\Rightarrow&\\\ 7252,\\\\ 125\cdot2&=250 &\Rightarrow&\\\ 7502,\\\\ 126\cdot1&=126 &\Rightarrow&\\\ 7628,\\\\ 127\cdot3&=381 &\Rightarrow&\\\ 8009,\\\\ 128\cdot2&=256 &\Rightarrow&\\\ 8265,\\\\ 129\cdot1&=129 &\Rightarrow&\\\ 8394,\\\\ 131\cdot1&=131 &\Rightarrow&\\\ 8525,\\\\ 133\cdot1&=133 &\Rightarrow&\\\ 8658. \end{aligned}
Portanto a soma total dos tempos é
\sum_{i=1}^{75} x_i = 8658\\ \text{segundos}.

Passo 5

Cálculo da média usando a soma total. Aplicando a fórmula
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{8658}{75}.
Para dividir sem calculadora, uma boa técnica é dividir em duas etapas: primeiro dividir por 3 e depois por 25, porque 75=3\cdot25.
\frac{8658}{3}=2886,
\frac{2886}{25}=\frac{2886}{100}\times4 =28,86\times4 =115,44.
(Outra forma: 25 cabe em 2886 exatamente 115 vezes com resto 11, isto é 2886=25\cdot115+11, então 2886/25=115+11/25=115+0,44=115,44.)

Passo 6

Interpretação e arredondamento. A média aritmética dos tempos é \bar{x}=115,44 segundos. Em provas normalmente apresentar com duas casas decimais é suficiente, salvo instrução contrária. Dica de prova: criar tabela de frequências e somar x\cdot f evita somas repetidas e economiza tempo.

Resposta

115,44\\ \text{s}

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