51-54 Verifique se as conclusões do Teorema de Clairaut são verdadeiras, isto é, se ux y=uy x.
u=x y e^y

Passo 1

Vamos verificar se a função
u(x,y)=x,y,e^y
satisfaz a igualdade das derivadas mistas uxy=uyx, que é a conclusão do Teorema de Clairaut. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem ux e uy, depois derivar cada uma em relação à outra variável, obtendo uxy e uyx, e por fim comparar.

Passo 2

Calculemos ux, a derivada parcial de u em relação a x. Como y,e^y é tratado como constante quando derivamos em x, temos
ux = partialpartial xl(x,y,e^yr) = y,e^y

Passo 3

Agora derivamos ux em relação a y para obter uxy:
uxy = partialpartial yl(y,e^yr) = 1cdot e^y + ycdot e^y = (1+y),e^y

Passo 4

Calculemos uy, a derivada parcial de u em relação a y. Aqui usamos regra do produto em y,e^y e lembramos que x é constante:
uy = partialpartial yl(x,y,e^yr) = xcdotddyl(y,e^yr) = xl(e^y + y,e^yr) = x,(1+y),e^y

Passo 5

Finalmente, derivamos uy em relação a x para obter uyx. Como (1+y),e^y é constante em x, resulta
uyx = partialpartial xl(x,(1+y),e^yr) = (1+y),e^y

Passo 6

Comparando
uxy = (1+y),e^y e uyx = (1+y),e^y,
vemos que são iguais. Isso confirma que, para esta função (que é C^2 em todo R^2), vale a conclusão do Teorema de Clairaut.

Resposta

As derivadas mistas coincidem:
uxy=uyx=(1+y),e^y

Exercícios relacionados