51-54
Verifique se as conclusões do Teorema de Clairaut são verdadeiras, isto é, se
.
Passo 1
Vamos verificar se a função
satisfaz a igualdade das derivadas mistas
, que é a conclusão do Teorema de Clairaut. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem
e
, depois derivar cada uma em relação à outra variável, obtendo
e
, e por fim comparar.
Passo 2
Calculemos
, a derivada parcial de
em relação a
. Como
é tratado como constante quando derivamos em
, temos
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
para obter
:
Passo 4
Calculemos
, a derivada parcial de
em relação a
. Aqui usamos regra do produto em
e lembramos que
é constante:
Passo 5
Finalmente, derivamos
em relação a
para obter
. Como
é constante em
, resulta
Passo 6
Comparando
vemos que são iguais. Isso confirma que, para esta função (que é
em todo
), vale a conclusão do Teorema de Clairaut.
Resposta
As derivadas mistas coincidem: