1. Encontre um exemplo de uma função contínua f definida em um intervalo aberto cuja imagem é um intervalo semi-fechado, mas não limitado.

Passo 1

Resumo rápido: a questão pede para a gente dar um exemplo de função contínua num intervalo aberto cujo conjunto de valores (a imagem) seja um intervalo semi-fechado (ou seja, com um lado fechado e o outro “aberto até o infinito”) e que não seja limitada. Isso entra em Análise Real: precisamos usar definição de intervalo aberto, intervalo semi-fechado e saber verificar a imagem de uma função contínua.

Passo 2

Escolhendo a função certa: vamos usar
f(x)=11 - x^2
definida no intervalo aberto (-1,1).
– Primeiro, 1-x^2 é contínuo e nunca anula quando xin(-1,1) (ele só zera em x=pm1, que estão fora do domínio), logo f é contínua em todo (-1,1),.
– Nosso objetivo é que f tenha um valor mínimo atingido (para fechar um lado do intervalo) e que “exploda” quando x se aproxima de pm1 (para ficar sem limite superior).

Passo 3

Agora a imagem de f:
  1. Para todo xin(-1,1), temos 1-x^2<=1, então
f(x)=11-x^2>=1
O menor valor ocorre em x=0, onde f(0)=1. Assim, 1 está na imagem.
2. Quando xto1^- ou xto(-1)^+, o denominador 1-x^2to0^+, logo
f(x)=11-x^2to+infty
Isso mostra que não há maior valor finito: a imagem vai até o infinito.
3. Como f é contínua e o domínio é um intervalo, ela atinge todos os valores entre 1 e qualquer número grande que você escolher.
Portanto a imagem é exatamente
[1,infty)

Resposta

Um exemplo é
f:(-1,1)toR, f(x)=11-x^2,
que é contínua em (-1,1) e tem imagem [1,infty), um intervalo semi-fechado não limitado.

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