- Encontre um exemplo de uma função contínua
definida em um intervalo aberto cuja imagem é um intervalo semi-fechado, mas não limitado.
Passo 1
Resumo rápido: a questão pede para a gente dar um exemplo de função contínua num intervalo aberto cujo conjunto de valores (a imagem) seja um intervalo semi-fechado (ou seja, com um lado fechado e o outro “aberto até o infinito”) e que não seja limitada. Isso entra em Análise Real: precisamos usar definição de intervalo aberto, intervalo semi-fechado e saber verificar a imagem de uma função contínua.
Passo 2
Escolhendo a função certa: vamos usar
definida no intervalo aberto
.
– Primeiro, é contínuo e nunca anula quando
(ele só zera em
, que estão fora do domínio), logo
é contínua em todo
.
– Nosso objetivo é que tenha um valor mínimo atingido (para fechar um lado do intervalo) e que “exploda” quando
se aproxima de
(para ficar sem limite superior).
– Primeiro,
– Nosso objetivo é que
Passo 3
Agora a imagem de
:
- Para todo
, temos , então
O menor valor ocorre em
, onde
. Assim,
está na imagem.
2. Quando ou
, o denominador
, logo
2. Quando
Isso mostra que não há maior valor finito: a imagem vai até o infinito.
3. Como é contínua e o domínio é um intervalo, ela atinge todos os valores entre
e qualquer número grande que você escolher.
3. Como
Portanto a imagem é exatamente
Resposta
Um exemplo é
que é contínua em
e tem imagem
, um intervalo semi-fechado não limitado.