1. Encontre uma f contínua que seja limitada mas que não admita máximo e não admita mínimo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma função contínua f que seja limitada (ou seja, seu conjunto de valores fica entre duas barreiras finitas) mas que não atinja nem o seu valor máximo nem o seu valor mínimo. O conteúdo envolve o Teorema do Valor Extremo, que diz que qualquer função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge seu máximo e seu mínimo. Para evitar isso, precisamos escolher um domínio que não seja compacto.

Passo 2

Para criar um contraexemplo, basta escolher um domínio não fechado (por exemplo, um intervalo aberto) e uma função simples, como f(x)=x. Considere
D = (0,1), fcolon D to R, f(x)=x

Passo 3

Verificamos que f é contínua em D porque é um polinômio (identidade) e portanto não tem descontinuidades no intervalo (0,1).

Passo 4

Mostramos que f é limitada e não atinge extremos:
f(D)=,xmid xin(0,1)=(0,1)
Logo
inf f(D)=0, sup f(D)=1,
mas não existe xin(0,1) tal que f(x)=0 nem f(x)=1. Dessa forma, f não admite mínimo nem máximo.

Resposta

Uma solução é definir fcolon(0,1)toR por
f(x)=x
Essa função é contínua, limitada em [0,1], mas não atinge nem o valor 0 nem o valor 1.

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