- Encontre uma
contínua que seja limitada mas que não admita máximo e não admita mínimo.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma função contínua
que seja limitada (ou seja, seu conjunto de valores fica entre duas barreiras finitas) mas que não atinja nem o seu valor máximo nem o seu valor mínimo. O conteúdo envolve o Teorema do Valor Extremo, que diz que qualquer função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge seu máximo e seu mínimo. Para evitar isso, precisamos escolher um domínio que não seja compacto.
Passo 2
Para criar um contraexemplo, basta escolher um domínio não fechado (por exemplo, um intervalo aberto) e uma função simples, como
. Considere
Passo 3
Verificamos que
é contínua em
porque é um polinômio (identidade) e portanto não tem descontinuidades no intervalo
.
Passo 4
Mostramos que
é limitada e não atinge extremos:
Logo
mas não existe
tal que
nem
. Dessa forma,
não admite mínimo nem máximo.
Resposta
Uma solução é definir
por
Essa função é contínua, limitada em
, mas não atinge nem o valor
nem o valor
.