1. Seja f:(a, b) longrightarrow(a, b) uma função contínua. A função f admite ponto fixo?

Passo 1

O enunciado pede para saber se toda função contínua
fcolon(a,b)to(a,b)
tem necessariamente um ponto fixo, isto é, existe xin(a,b) tal que f(x)=x.
O conteúdo envolvido é a noção de ponto fixo e o Teorema do Valor Intermediário, lembrando que o clássico Teorema de Brower para o intervalo exige domínio e contradomínio fechados [a,b].

Passo 2

No caso fechado, isto é, fcolon[a,b]to[a,b] contínua, o Teorema do Valor Intermediário aplicado a
g(x)=f(x)-x
garante um zero de g em [a,b], logo um ponto fixo. Mas em domínio aberto (a,b) não podemos aplicar diretamente esse argumento nos extremos (pois a e b não são pontos do domínio).

Passo 3

Para ver que não há garantia de ponto fixo em (a,b), basta dar um contraexemplo. Defina
f(x)=x+b2,
Primeiro verificamos que f de fato mapeia (a,b) em (a,b): para todo xin(a,b)
a < x < b Longrightarrow a+b2 < x+b2 < b,
e como a+b2in(a,b), segue x+b2in(a,b).

Passo 4

Agora procuramos fixos: resolvemos
f(x)=x Long<=ftrightarrow x+b2=x Long<=ftrightarrow b=x
Mas x=b não pertence a (a,b). Logo f não tem ponto fixo em (a,b).

Resposta

Não: por exemplo,
f(x)=x+b2
é contínua de (a,b) em (a,b) e não admite ponto fixo.

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