- Seja
uma função contínua. A função
admite ponto fixo?
Passo 1
O enunciado pede para saber se toda função contínua
tem necessariamente um ponto fixo, isto é, existe
tal que
.
O conteúdo envolvido é a noção de ponto fixo e o Teorema do Valor Intermediário, lembrando que o clássico Teorema de Brower para o intervalo exige domínio e contradomínio fechados .
O conteúdo envolvido é a noção de ponto fixo e o Teorema do Valor Intermediário, lembrando que o clássico Teorema de Brower para o intervalo exige domínio e contradomínio fechados
Passo 2
No caso fechado, isto é,
contínua, o Teorema do Valor Intermediário aplicado a
garante um zero de
em
, logo um ponto fixo. Mas em domínio aberto
não podemos aplicar diretamente esse argumento nos extremos (pois
e
não são pontos do domínio).
Passo 3
Para ver que não há garantia de ponto fixo em
, basta dar um contraexemplo. Defina
Primeiro verificamos que
de fato mapeia
em
: para todo
e como
, segue
.
Passo 4
Agora procuramos fixos: resolvemos
Mas
não pertence a
. Logo
não tem ponto fixo em
.
Resposta
Não: por exemplo,
é contínua de
em
e não admite ponto fixo.