54 Uma carga de 6,0 \mu \mathrm{C} é dividida em duas partes, que são mantidas a uma distância de 3,00 \mathrm{~mm}. Qual é o maior valor possível da força eletrostática entre as duas partes?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar direitinho para a gente não se perder):
  • Carga total: Q=6,0\times10^{-6}\\ \mathrm{C} (peguei isso do enunciado).
  • Essa carga é dividida em duas partes (uma com carga q e a outra com carga Q-q).
  • As duas partes ficam separadas por uma distância r=3,00\times10^{-3}\\ \mathrm{m} (peguei isso do enunciado).
  • Pergunta: qual é o maior valor possível da força eletrostática entre as duas partes?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (a explicação passo a passo):
  • A força eletrostática entre duas cargas pontuais é dada pela Lei de Coulomb:
F = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2},
onde:
  • F é a força (em newtons, \mathrm{N});
  • k é a constante eletrostática no vácuo, k\approx 8,988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2};
  • q_1 e q_2 são as cargas (em coulombs, \mathrm{C});
  • r é a distância entre elas (em metros, \mathrm{m}).
  • Aqui as duas cargas são q e Q-q. Substituindo na fórmula, a força como função de q é:
F(q)=k\,\frac{q\,(Q-q)}{r^2}.
  • Nosso objetivo é escolher q (entre 0 e Q) para maximizar F(q). Vou explicar duas maneiras simples de ver onde está o máximo, mas usarei a derivada porque é direta.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a função a maximizar e observando sua forma:
F(q)=\frac{k}{r^2}\bigl(qQ-q^2\bigr)=\frac{k}{r^2}\bigl(-q^2+Qq\bigr).
  • Essa é uma parábola em q (coeficiente de q^2 negativo), portanto tem um único máximo no intervalo real. Como q deve estar entre 0 e Q, o máximo da parábola estará dentro desse intervalo.

Passo 4

Encontrando o q que maximiza F(q) (cálculo passo a passo):
  • Derivada de F(q) em relação a q:
\frac{dF}{dq}=\frac{k}{r^2}\bigl(Q-2q\bigr).
  • Para extremo crítico, iguala-se a zero:
\frac{dF}{dq}=0 \quad\Rightarrow\quad Q-2q=0 \quad\Rightarrow\quad q=\frac{Q}{2}.
  • Segundo teste (segunda derivada) para verificar que é máximo:
\frac{d^2F}{dq^2}=\frac{k}{r^2}\bigl(-2\bigr)<0,
logo é de fato um máximo. Intuição física: dividir a carga igualmente aumenta o produto q(Q-q), então a força é máxima quando as cargas são iguais.

Passo 5

Valor máximo da força em termos de Q e r:
  • Substituindo q=Q/2 em F(q):
F_{\max}=k\,\frac{\left(\dfrac{Q}{2}\right)\left(Q-\dfrac{Q}{2}\right)}{r^2} = k\,\frac{\left(\dfrac{Q}{2}\right)\left(\dfrac{Q}{2}\right)}{r^2} = k\,\frac{Q^2}{4\,r^2}.
  • Essa fórmula é muito útil: para um dado total Q e distância r, a maior força ocorre quando as cargas são Q/2 e Q/2.

Passo 6

Substituindo os valores numéricos e fazendo as contas passo a passo:
  • Converter unidades (peguei os valores do enunciado):
    • Q=6,0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
    • r=3,00\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
    • k\approx8,988\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^2/C^2}.
  • Usando a fórmula \displaystyle F_{\max}=k\,\dfrac{Q^2}{4r^2}:
F_{\max}=8,988\times10^{9}\\ \frac{\left(6,0\times10^{-6}\right)^{2}}{4\left(3,00\times10^{-3}\right)^{2}}\\ \mathrm{N}.
  • Calculando passo a passo:
    • \left(6,0\times10^{-6}\right)^{2}=36,0\times10^{-12}=3,60\times10^{-11}.
    • \left(3,00\times10^{-3}\right)^{2}=9,00\times10^{-6}.
    • 4r^{2}=4\cdot9,00\times10^{-6}=36,0\times10^{-6}=3,60\times10^{-5}.
    • Numerador: k\cdot Q^{2}=8,988\times10^{9}\times3,60\times10^{-11}=0,323568.
    • Dividindo: F_{\max}=0,323568\div3,60\times10^{-5}=8,988\times10^{3}\\ \mathrm{N}.
  • Arredondando com algarismos significativos razoáveis (os dados têm duas ou três casas significativas), fica aproximadamente:
F_{\max}\approx 8,99\times10^{3}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo:
  • A força máxima é obtida quando a carga é dividida igualmente em duas partes ( q=Q/2 e Q-q=Q/2).
  • O valor numérico é bastante grande (algumas milhares de newtons) porque cargas relativamente pequenas a distâncias muito pequenas produzem forças grandes pela Lei de Coulomb — é normal parecer “assustador”.
  • Você já tem a técnica: expressar F em função de q e maximizar (derivada ou completar quadrado). Isso resolve questões parecidas na prova. Vai dar certo — respira fundo e pratica mais um ou dois exemplos!

Resposta

8,99\times10^{3}\\ \mathrm{N}

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