54 Uma carga de
é dividida em duas partes, que são mantidas a uma distância de
. Qual é o maior valor possível da força eletrostática entre as duas partes?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar direitinho para a gente não se perder):
- Carga total:
(peguei isso do enunciado). - Essa carga é dividida em duas partes (uma com carga
e a outra com carga ). - As duas partes ficam separadas por uma distância
(peguei isso do enunciado). - Pergunta: qual é o maior valor possível da força eletrostática entre as duas partes?
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (a explicação passo a passo):
- A força eletrostática entre duas cargas pontuais é dada pela Lei de Coulomb:
onde:
-
é a força (em newtons, ); -
é a constante eletrostática no vácuo, ; -
e são as cargas (em coulombs, ); -
é a distância entre elas (em metros, ). - Aqui as duas cargas são
e . Substituindo na fórmula, a força como função de é:
- Nosso objetivo é escolher
(entre e ) para maximizar . Vou explicar duas maneiras simples de ver onde está o máximo, mas usarei a derivada porque é direta.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a função a maximizar e observando sua forma:
- Essa é uma parábola em
(coeficiente de negativo), portanto tem um único máximo no intervalo real. Como deve estar entre e , o máximo da parábola estará dentro desse intervalo.
Passo 4
Encontrando o
que maximiza
(cálculo passo a passo):
- Derivada de
em relação a :
- Para extremo crítico, iguala-se a zero:
- Segundo teste (segunda derivada) para verificar que é máximo:
logo é de fato um máximo. Intuição física: dividir a carga igualmente aumenta o produto
, então a força é máxima quando as cargas são iguais.
Passo 5
Valor máximo da força em termos de
e
:
- Substituindo
em :
- Essa fórmula é muito útil: para um dado total
e distância , a maior força ocorre quando as cargas são e .
Passo 6
Substituindo os valores numéricos e fazendo as contas passo a passo:
- Converter unidades (peguei os valores do enunciado):
-
. -
. -
.
-
- Usando a fórmula
:
- Calculando passo a passo:
-
. -
. -
. - Numerador:
. - Dividindo:
.
-
- Arredondando com algarismos significativos razoáveis (os dados têm duas ou três casas significativas), fica aproximadamente:
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo:
- A força máxima é obtida quando a carga é dividida igualmente em duas partes (
e ). - O valor numérico é bastante grande (algumas milhares de newtons) porque cargas relativamente pequenas a distâncias muito pequenas produzem forças grandes pela Lei de Coulomb — é normal parecer “assustador”.
- Você já tem a técnica: expressar
em função de e maximizar (derivada ou completar quadrado). Isso resolve questões parecidas na prova. Vai dar certo — respira fundo e pratica mais um ou dois exemplos!