[51] O custo em u.m. (unidades monetárias) para remover x % dos detritos tóxicos despejados num aterro é dado por S(x)=0.8 x100-x, para 0<x<100.
a) Determine o custo referente à remoção de 40 %, 60 % e 90 % dos detritos. Esboce o gráfico de S=S(x).
b) Que porcentual de detritos pode ser removido por 10.000 u.m?

Passo 1

O enunciado dá a função de custo
S(x)=0.8,x100 - x,
para 0<x<100, que é uma função racional com assíntota vertical em x=100. Na parte (a) precisamos calcular S(40), S(60) e S(90) e esboçar o gráfico de S. Na parte (b) resolvemos a equação S(x)=10000 para achar x.

Passo 2

Calculamos os valores pedidos substituindo x na fórmula:
S(40)=0.8cdot40100-40=3260approx0,5333,
S(60)=0.8cdot60100-60=4840=1,2,
S(90)=0.8cdot90100-90=7210=7,2

Passo 3

Para esboçar o gráfico de S(x):
  1. Domínio: 0<x<100.
  2. Quando xto0^+, S(x)to0.
  3. Há assíntota vertical em x=100 pois o denominador vai a zero.
  4. A função é crescente e convexa no domínio.

Passo 4

Na parte (b) impomos
0,8,x100-x=10000
e resolvemos:
10000,(100-x)=0,8,x Longrightarrow 1000000-10000x=0,8x Longrightarrow 1000000=10000,8,x Longrightarrow x=100000010000,8

Passo 5

Fazendo a divisão,
xapprox99,992%
Ou seja, com 10 000 u.m. consegue-se remover cerca de 99,992%.

Resposta

(a)
S(40)approx0,5333,
S(60)=1,2,
S(90)=7,2.
O gráfico de S(x) é crescente para 0<x<100, parte de S(0)=0 e tem assíntota vertical em x=100.
(b) Aproximadamente 99,992% dos detritos.

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