Calcule as integrais usando integração por partes
integral1^5 ln xx^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral1^5ln xx^2,dx
usando o método de integração por partes. Vamos precisar escolher u como uma função cuja derivada simplifica ln x e dv como algo que facilite a integração de x^-2.

Passo 2

Escolhemos
u = ln x, dv = x^-2,dx
Então
du = 1x,dx, v = integral x^-2,dx = -,x^-1

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du,
temos
integral ln xx^2,dx = (ln x)l(-x^-1r) - integral l(-x^-1r)1x,dx = -ln xx + integral x^-2,dx
Integrando o termo restante,
integral x^-2,dx = -,x^-1,
logo a antiderivada é
-ln xx - 1x + C = -ln x + 1x + C

Passo 4

Avaliamo-la de 1 a 5:
[-ln x + 1x]1^5 = l(-ln 5 + 15r) - l(-ln 1 + 11r) = -ln 5 + 15 + 1
Como ln 1=0, obtemos
1 - ln 5 + 15 = 5 - (ln 5 + 1)5 = 4 - ln 55

Resposta

integral1^5ln xx^2,dx = 4 - ln 55

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